届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案学案不等式的概念与性质

第1页共8页第七章不等式、推理与证明学案33不等式的概念与性质导学目标：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．自主梳理1．不等关系不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如30)，变量与________间的不等关系(如x5)，函数与________之间的不等关系(如x2＋1≥2x)等．2．不等式用________(如“”“”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．3．两个实数大小的比较(1)作差法：设a，b∈R，则ab⇔a－b0，ab⇔a－b0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．(2)作商法：依据：设a0，b0，则ab⇔__________，ab⇔ab1.4．不等式的性质(1)对称性：ab⇔________；(2)传递性：ab，bc⇒________；(3)加法性质：ab⇔________；推论：ab，cd⇒________；(4)乘法性质：ab，c0⇒________；推论：ab0，cd0⇒________；(5)乘方性质：ab0⇒________________________；(6)开方性质：ab0⇒________________________；(7)倒数性质：ab，ab0⇒________________.自我检测1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b32．若a，b是任意实数，且ab，则()A．a2b2B.ba1C．lg(a－b)0D.12a12b3．(2011·青岛模拟)设a0，b0，则以下不等式中不一定成立的是()A．ab＋ba≥2B．ln(ab＋1)0C．a2＋b2＋2≥2a＋2bD．a3＋b3≥2ab24．(2011·上海)若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()第2页共8页A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥25．(2010·安徽)若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.探究点一数与式的大小比较例1(1)设xy0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n2时，比较cn与an＋bn的大小．变式迁移1已知a2，b2，试比较a＋b与ab的大小．探究点二不等式性质的简单应用例2下面的推理过程ab⇒acbccd⇒bcbd⇒acbd⇒adbc，其中错误之处的个数是()A．0B．1C．2D．3变式迁移2(2011·许昌月考)若ab0，则下列不等式中不成立的是()A.1a1bB.1a－b1aC．|a||b|D．a2b2探究点三求字母或代数式范围问题例3(1)已知12a60,15b36，求a－b及ab的取值范围．(2)设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．第3页共8页变式迁移3(1)已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________．(2)(2010·辽宁)已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围为________．(答案用区间表示)1．数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．2．由M1f1(a，b)N1和M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的“线性相关值”，令g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，于是一次相加，便可求到所需要的范围．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·开封调研)已知a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(a－c)02．若ab0，则下列不等式中恒成立的是()A．bab＋1a＋1B．a＋1ab＋1bC．a＋1bb＋1aD.2a＋ba＋2bab3．(2011·金华模拟)已知ab，则下列不等式一定成立的是()A．lgalgbB．a2b2C.1a1bD．2a2b4．(2011·舟山七校联考)若ab0，则下列结论中正确的是()A.1a1b和1|a|1|b|均不能成立B.1a－b1b和1|a|1|b|均不能成立C．不等式1a－b1a和a＋1b2b＋1a2均不能成立D．不等式1|a|1|b|和a＋1b2b＋1a2均不能成立5．已知三个不等式：ab0，bc－ad0，ca－db0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题(每小题4分，共12分)6．若xy1，且0a1，则①axay；②logaxlogay；③x－ay－a；④logxalogya.其中不成立的个数是________．7．(2011·东莞月考)当a0b，cd0时，给出以下三个结论：①adbc；②a＋c2b＋d2；③b－cd－c.其中正确命题的序号是________．第4页共8页8．已知－π2≤αβ≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是______________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·阳江月考)已知a＋b0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b.10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．11．(14分)已知a0，a2－2ab＋c2＝0，bca2.试比较a，b，c的大小．学案33不等式的概念与性质自主梳理1．常量常量函数2.不等号3.(2)ab14.(1)ba(2)ac(3)a＋cb＋ca＋cb＋d(4)acbcacbd(5)anbn(n∈N且n≥2)(6)nanb(n∈N且n≥2)(7)1a1b自我检测1．A2.D3.D4.D5．①③⑤第5页共8页课堂活动区例1解题导引比较大小有两种基本方法：(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．解(1)方法一(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，∵xy0，∴xy0，x－y0.∴－2xy(x－y)0.∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．方法二∵xy0，∴x－y0，x2y2，x＋y0.∴(x2＋y2)(x－y)0，(x2－y2)(x＋y)0.∴0x2＋y2x－yx2－y2x＋y＝x2＋y2x2＋y2＋2xy1.∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn0.而an＋bncn＝acn＋bcn.∵a2＋b2＝c2，则ac2＋bc2＝1，∴0ac1,0bc1.∵n∈N，n2，∴acnac2，bcnbc2.∴an＋bncn＝acn＋bcna2＋b2c2＝1.∴an＋bncn.变式迁移1解方法一(作差法)ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，∵a2，b2，∴a－11，b－11.∴(a－1)(b－1)－10.∴ab－(a＋b)0.∴aba＋b.方法二(作商法)∵a＋bab＝1b＋1a，且a2，b2，∴1a12，1b12.∴1b＋1a12＋12＝1.∴a＋bab1.又∵ab40，∴a＋bab.例2D[由ab⇒acbc，cd⇒bcbd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出acbd是正确的，由acbd⇒adbc是对不等式acbd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的．]变式迁移2B[∵ab0，∴ab0.取倒数，则有1a1b，选项A正确．∵ab0，∴|a||b|和a2b2两个不等式均成立，选项C、D正确．第6页共8页对于B，1a－b－1a＝baa－b，又∵ab0，∴a－b0.∴baa－b0，即1a－b1a.∴选项B不成立．]例3解题导引第(2)题中，由于f(x)＝ax2＋bx，所以f(－2)、f(－1)和f(1)都是关于a，b的代数式，由于已知f(－1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出f(－2)，通过等式两边a、b系数相等求出待定系数，然后通过f(－1)、f(1)的范围求出f(－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求的是z＝4a－2b的范围．解(1)∵15b36，∴－36－b－15.∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.又1361b115，∴1236ab6015.∴13ab4.(2)方法一由f－1＝a－bf1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1].∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，∴m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范围是[5,10]．变式迁移3(1)[－3π2，π](2)(3,8)解析(1)由－π2≤α≤π2⇒－π≤2α≤π，由0≤β≤π⇒－π2≤－β2≤0，两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.所以2α－β2的范围为－3π2，π.(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，第7页共8页则λ＋μ＝2λ－μ＝－3⇒λ＝－12，μ＝52，从而2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)∈(3,8)．课后练习区1．A[由cba，且ac0，知a0，c0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．由bc⇒abac，b可能为0，故A正确．ba⇒b－a0又c0⇒c(b－a)0，故B错误．ac⇒a－c0又ac0⇒ac(a－c)0，故D错误．]2．C