山东大学研究生考试高等量子力学1996真题

山东大学硕士研究生1996年《高等量子力学》试题共6页第1页山东大学1996级硕士研究生《高等量子力学》试题说明:(1)全试题共五大题,每题20分,满分100分;(2)考试时间3小时,试题与答卷一起上交。一、量子系统.在一定时刻的态矢量是对该时刻状态的完整描述，也决定了演化到其它时刻的状态。系统状态随时间的演化由线性算符联系。在坐标表象表成：xdtxttxxGtx),(),(),(称),(ttxxG为系统的格林函数，说明格林函数的物理意义；给出格林函数满足的方程；以一维线性谐振子为例，用其波函数表示出格林函数。二、量子散射是在一定边界条件下求解含时薛定额方程，其边界条件是)()(ttt式中)(t是散射解，)(t为自由平面波解。但也可以在相互作用绘景中求解散射问题。设相互作用哈米顿是iSH,在相互作用绘景中求解薛定额方程，并证明在t0时就是定态散射的李普曼－许文格方程，计算时为防止发散，引入绝热近似，即设相互作用哈米顿为HeoSit/,。三、量子力学中的二次量子化方法，引入粒子的产生与消灭算符以及相对应的场算符表示态与力学量。（1）取单粒子完备系为动量与自旋的本征态zSP,|，用|表示全同粒子系统的态矢量，SmKa,表示产生一个动量为K，能量为KE，自旋z分量为Sm的粒子的产生算符，计算|,smKHa，说明计算结果的物理意义。（2）用相应的场算符表示系统的动量。四、设算符)2,1(,rrara是二维各向同性谐振子消灭与产生算符,满足对易关系:.,,0,,rssarasarasara令一矢量算符J的三个分量分别是山东大学硕士研究生1996年《高等量子力学》试题共6页第2页22113211222112121,2,21aaaaJaaaaiJaaaaJ(1)求证矢量算符J的三个分量满足通常角动量算符的对易关系;(2)把矢量算符J看成角动量算符,用mjj),1(表示2J与zJ的本征值(这里取1),直接由上面定义出发求证,2,.....,1,20,j2321.(3)求证zJJ,2的共同本征态可表示成0|)!()!()()(),|21mjmjmjamjamj这里0|是基态,即满足条件00ia。只要证明mj,满足关系:.1,)1)((,mjmjmjmjJ五、一维运动的自由粒子的哈密顿量为mPH22，（1）计算坐标、动量算符PXXˆ,ˆ,ˆ2在海森堡绘景中的表示；（2）设0t时在坐标表象中的波函数为/0)()(XiPexx，这里)(x是归一化的实函数，求证t时刻坐标算符的均方差为dxdxxdmttxtxtxtx22222222)()0()()()(。附：公式备查2)(21)(21)(21)(21)2/1(cos2sin2sin2cos)(iiiieeeeD;一维谐振子算符关系pmixmapmixma2,2，)(2),(2aamipaamx;山东大学硕士研究生1996年《高等量子力学》试题共6页第3页1996级《高等量子力学》试题解答一、解：（1）格林函数的物理意义是0t时刻位于x处的态演化到t时刻位于x处的几率振幅。（2）计算格林函数满足的方程，由演化方程)(|),()(|00tttUt两边对时间计算微商，给出)(|),()(|00ttttUitti利用薛定谔方程)(|)(|tHtti给出演化算符满足的方程是),(),(00ttHUtttUi在坐标表象写出xdxttUxxHxxttHUxtxttUxi),(),(),(000),()(),()()(00txxtGxHxdxttUxxxxH，给出传播函数满足的方程是),()(),(00ttxxGxHttxxGti，其中传播函数xttUxttxxG),(),(00。对于一维谐振子，哈密顿算符不显含时间为保守系，所以有]/)(exp[),(00ttiHttU/)(*0)()(|]/)(exp[||),(ttiEnnnexxxttiHnnxttxxG.式中nxxn|)(是一维谐振子在坐标表象中的波函数。二、解:在相互作用绘景中薛定额方程为)(|)(|)(|)(|tttHttiItIIiII对上式积分,利用初条件,给出tdtHittItiIII)(|)(|)(|tdteHeitItiHtiStiHIoo)(|)(|//tdtHeitStiStiHIo)(|)(|/山东大学硕士研究生1996年《高等量子力学》试题共6页第4页两边乘以/tiHoe,给出tdtHeittStiSttiHSS)(|)(|)(|/)(0这恰好是薛定额方程的解,然后代入oHeHetitiSStiES,,|)(|//上式中令0t,给出.|1|)0(|||)0(|0//0/SiSSSitiEttiHSSHiHEHeeeio另外,也可以反复叠代积分给出上面结果.三、解：（1）按照算符的表示，取单粒子能量本征态构成单粒子表象，系统的哈密顿是kdaaEHssmkmkk,,ˆ，利用消灭、产生算符的对易关系，我们有关系ssmkkmkaEaH,,,因而sssSmkkmkkmkmkaEEaEHaHa,,,,)()(，可见smka,ˆ仍然是H的本征态，但本征能量分别是kEE。（2）xdxxxdixdxxPxP)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ。四、解:(1)以zyxiJJJ],[为例证明对易关系.反复利用产生消灭算符的对易关系,可得到ZyxiJaaaaiaaaaJJ)](2),(21[],[21122112(2)反复利用产生消灭算符的对易关系,得出)1(1)(21)(2121212222jjNNNNJJJJzyx,因为21,NN的本征值是0)(21nn的正整数,这能够使角动量平方的本征值,......2,,1,,0)(23212121nnj为整数或半整数.(3)利用2121)(aaJJJyx.0)!()!()()(|2121mjmjaaaajmJmjmj利用产生消灭算符的对易关系,得到mjmjmjmjaaaaaa)()()()(221212而山东大学硕士研究生1996年《高等量子力学》试题共6页第5页2212122212122222))((........)()())(1()(aaamjaaaaaaaaamjmjmjmjmj但00|2a，.1,|))(1(0|)!1()!1)()())(1(0|)!()!()()()(|12111211mjmjmjmjmjaamjmjmjmjmjaajmJmjmjmjmj同理可计算出mjJ,|满足角动量本征态的关系，证毕。五、解：（1）利用基本关系)/exp()/exp()(iHtFiHttF在动量表象计算mtpimptpimtpimtpipiexiHt2exp2exp2expˆ222/mptxiHt)/exp(，所以mptxmptxiHtiHttx))(/exp()/exp()(，在坐标表象是xmtixtx)(。而mitpxmtmPtxmptxtx2)()(222222。至于计算动量算符也可以这样计算，给出结果是ptpˆ)(ˆ。也可以用海森堡绘景中的运动方程求解。（2）计算坐标算符的均方差事实上计算平均值，在薛定谔绘景或海森堡绘景计算的结果是一样的，这里已经求出了海森堡绘景中的算符，当然在海森堡绘景中计算。利用题目给出的波函数，我们有dxextxextxxipxip//*00)()()()(dxexdxdmtixexxipxip//*00)()(dxxdxdxmtipmtx)()(*0，这里dxxxx)(2，由于题设)(x是归一化的实函数，要求山东大学硕士研究生1996年《高等量子力学》试题共6页第6页1)(2dxx，这要求0)(2xx，而积分0)(21)()(2*xdxxdxdx，这样我们最后给出平均值是0)(pmtxtx。由此求出mtpxmptxtx02202222)(，同样我们求出dxxtxxtx)()(ˆ)()(2*2dxxmtidxdxmtidxdmtxx)(ˆ2ˆ)(222222*220*022*2222)()(2)()(pdxxdxdxipdxxdxdxmtxmtixipdxxdxdxxmti0*)()(2其中0)()(*dxxdxdx（同上），21)()(*dxxdxdxx，dxdxxddxxdxdx222*)()()(最后求出mtpxmptdxdxxdmtxtx022022222222)()(，最后按照均方差的定义给出dxdxxdmttxtxtxtx22222222)()0()()()(；这里222)0(xxtx。