大自然的数学游戏3_斐波纳奇数列

大自然界的數學遊戲系列之三費波納奇數列觀察植物的規則觀察植物的規則觀察植物的規則向日葵請你觀察，向日葵種子的兩組螺線的排列情形：順時鐘方向的螺線有條；逆時鐘方向的螺線有條請你觀察（簡化圖），其中順時鐘方向的螺線有條；逆時鐘方向的螺線有條松柏的毬果請你觀察，松柏的毬果的兩組螺線的排列情形：順時鐘方向的螺線有條；逆時鐘方向的螺線有條請你觀察（簡化圖），其中順時鐘方向的螺線有條；逆時鐘方向的螺線有條花瓣數目數字規律向日葵，常見的螺線數目為「34及55」，較大的向日葵的螺線數目則為「89及144」，更大的甚至還有「144及233」。螺線的數目視向日葵的種類而定松果，一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列，順時針螺線的排列數目和反時針方向常是8和13，而另一組常出現的數字是「5及8」如果你對植物稍曾注意，會發現大多數花朵的花瓣數目是3，5，8，13，21，34，55，89，…其他數目則鮮少出現。費波納奇數列這個數列3,5,8,13,21,__,__,__,…有個模式。此數列即為費波納奇數列。你可看出這數列有什麼規律嗎？這數列從第三項開始每一項均恰為其前兩項之和。玫瑰花瓣一片一片地拆開，看看花瓣是怎麼層層相疊的，其中按照的數學規則都是斐波那契數列的傑作。Fibonacci（1180～1250）中世紀歐洲偉大的數學家Fibonacci（1180～1250）在1202年出版《算盤之書》(LiberAbaci)，其中有一個問題如下兔子出生後二個月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄）。假如養了初生的小兔一對，試問：一年以後共可有多少對兔子？Fibonacci數列如此推算下去，我們不難得出上面的結果它們被稱為費波那西數列月份一二三四五六七八九十十一十二十三…兔子數1123581321345589144233…Fibonacci數列1634年數學家奇拉特發現：費波那西數列有如下遞推的關係：第n+1個月時的兔子可分為二類：一類是第n個月時的兔子，另一類是當月新出生的小兔，而這些小兔數恰好是第n-1個月時的兔子數11nnnaaaFibonacci數列一般項最早是在1718年由德摩瑞求得，後來在1843年又由比內重新發現，答案是此式今日叫做比內公式，它含有兩個驚奇：其一是涉及黃金分割的比值其二是整數數列第n項居然可用一些無理數的組合來表達。nnna25125151251Fibonacci數列費波那西數列的一般項公式的導法：1.利用「特徵方程式」的理論2.利用矩陣的方法3.利用數學歸納法直接證明此一般項公式對所有的自然數都成立什麼是黃金比例短段：中段＝中段：長段這樣的分割方式叫做黃金分割，而這一比值就稱為黃金比。約為1.618……..把斐波那契數列每一項用前一項來除新數列好像趨近某個定值＝＞1.618……讓我們用Gn表示新數列的第n項nnFF1因為費氏數列中的每一項都是前兩項之和，所以Fn=Fn-1+Fn-2。那麼由111nnGG11這個關係式，我們可以證明Gn是趨近到一個定值的，我們管這個定值叫做φ，這就是說，當n愈大時，Gn和φ之差就愈小，而Gn-1和Gn之差也可以小而不計。所以由這個式子我們可以推得而算得215「斐波那契數列」和「黃金比例」「斐波那契數列」的後一項與前一項相除，相除出來的數值，竟然越來越逼近「黃金比例」事實上最後的結果就是「黃金比例」，所以「斐波那契數列」和「黃金比例」它們是孿生兄弟費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比值，由黃金矩形又可描出等角螺線，等角螺線又出現在松果、鳳梨、雛菊、向日葵等，而它們的左右旋螺線數自又是費氏數列相鄰的兩項，自然之造物真令人嘆為觀止！植物為什麼如此排列？1，1，2，3，5，8，13，21，34，……黃金角如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，即小弧：中弧＝中弧：全弧，則小弧的圓心角我們稱之為黃金角。黃金角約為137.50776….度植物的生長種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。嫩芽頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望之後能夠獲得最大的生長空間。葉片希望得到充足的陽光，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。驚人的發現布拉菲兄弟測量按生長順序兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近137.5度，也就是――「黃金角」圖中編號29的原基與編號30的原基之間的角度，及編號30與31的原基之間的角度原來如此之前提過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出，但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵，這些螺線只是視學上的錯覺。按照黃金角生長出來的植物，其花瓣或萼片所呈現出來的樣子就會有左右旋螺線，而其螺線數比都是呈現費氏數列前後項的比，因為費氏數列前後項的比就趨近於黃金比。葉序植物為了良好的生長，必須盡量讓螺旋上升生長的每片葉子都能獲得陽光的照射，因此每片新葉子必須從枝幹上尋找一個盡量不會遮蔽到下面葉子的方位生長。隨著葉子越來越多，空隙越來越少，要找到一個好角度生長才行，而137.50776….度角就是最好的選擇，因為它最能均勻地分割圓的角度為什麼不是30、60、90、120………等漂亮的角度，和我們的直覺不太一樣。因為這些角度經過幾次生長後，就會重合於原來的方位，遮住下面的葉子。為什麼是137.5度？137.3度黃金角137.5度137.6度一九七九年，數學家伏格（H.Vogel）以電腦模擬原基的生長情形要使圓點排列沒有空隙，發散角就必須是黃金角；而這時，兩組螺線就會同時出現。簡言之，要使花頭最密實、最堅固，最有效的堆排方式是讓發散角等於黃金角。一些費波那西數列的例子波蘭數學家史坦因豪斯在其名著數學萬花筒中有這樣一個問題：一棵樹一年後長出一條新枝，新枝隔一年後成為老枝，老枝便可每年長出一條新枝。如此下去，十年後樹枝將有多少？一些費波那西數列的例子一對蜜蜂從蜂房Ａ出發，想爬到第1、2、3、……、n號蜂房，但只允許它自左向右（不許反向倒走），那麼它爬到各蜂房的「路線數」結論照費氏數列規則成長的植物是比較有效率的模式，算比較高等的植物；就像一樣是人類，有侏儒、禿頭，或六根手指等基因突變的例子。按照達爾文演化的理論，一些沒效率的植物會慢慢被自然界淘汰。未來的植物大都將遵守費氏數列規則成長。大自然的機制使得原基的生長遵循著有效率堆排的幾何原理。細心觀察植物的生長結構，你將發現植物世界裡巧妙地玩弄著這些數字，到處都是費氏數列的蹤跡。你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的花朵或樹木，生活會更有趣。