金融数学和我国的金融改革

1金融数学和我国的金融改革上海交通大学数学系和现代金融研究中心叶中行2007年11月内容提要1.引言2.海量金融信息分析和数据挖掘3.昀优投资消费问题4.期权定价问题5.金融风险度量和计算6.金融创新和我国的金融改革7.金融创新和居民的财富效应21.引言金融业是现代经济的核心金融市场，不是战场，胜似战场重大金融风险暴露事件近年来我国金融市场出现了一系列重大的金融风险暴露事件造成直接损失：中航油5.5亿美元[2004]中储棉6亿[2005]国储局铜期货5.45亿美元[2005]美国次级债（2007）……3国家的高度关注十七大胡锦涛总书记报告:深化财税、金融等体制改革，完善宏观调控体系。推进金融体制改革，发展各类金融市场，形成多种所有制和多种经营形式、结构合理、功能完善、高效安全的现代金融体系。加强和改进金融监管，防范和化解金融风险。创造条件让更多群众拥有资产性收入。国家“十一五规划纲要”明确要求：健全风险调控机制科技部国家重点基础研究发展计划973项目“金融风险的定量分析和计算”的启动1.2金融理论金融学是研究运作“金钱”事务的科学。金融理论涉及所有资金融通方面的内容，包括对融资主体、融资市场的研究，一般分为三部分：（1）金融市场理论(moneyandcapitalmarkettheory),如证券(包括期权)定价、利率结构,外汇兑换利率等.（2）投资学(investment),专门研究投资者如何投资以取得昀佳收益，如昀优投资理论，风险管理理论等。（3）公司财务管理(corporatefinance),专门研究企业如何筹集和使用资金的学问。4•金融的永恒主题是：流动、获利和避险•现代金融理论的三大支柱：资金的时间价值、资产定价和风险管理1.3金融数学•数理金融学(也称数学金融学,分析金融学)：利用数学工具研究金融,进行数学建模、理论分析、数值模拟等定量分析，以求找到其内在的深刻的规律并用以指导实践。5金融数学的三个里程碑•Markowitz(1952,1959)均值-方差昀优投资组合模型•Black-Scholes(1973)-Merton：期权定价公式•Acerbi,Delbaen,Eber,Heath(1997,1999):相容风险度量（Coherentriskmeasure）2.海量金融信息分析和数据挖掘•金融市场分析的需要•计算机数据处理能力的可能•计算机和计算技术的发展开辟了金融研究的新方向•新计算方法有助于更好的决策和增强竞争力6海量金融数据分析•网络金融数据搜索技术工程层次（网络+金融，金融电子化）科学层次（数学建模和分析）•垂直金融搜索引擎（定点信息收割、爬虫信息收割等）•网络金融数据分析统计建模数据挖掘（机器智能）：信息特征（相似性、匹配性、周期性等）高频数据和流数据挖掘•高频数据分析tick-by-tickdata-data实时记录了每笔成交的价格和数量（利用tickdata寻找套利机会）bidandofferinformation.•流数据挖掘：流数据聚类、归约、分类、关联分析、时序分析等。R.Motwani(Stanford),C.Aggarwal&J.Han(UnivofIllinois-Urbana-Champaign)73.昀优投资消费问题•单周期昀优投资组合模型和算法•离散时间多周期动态昀优投资组合问题•连续时间均值-方差昀优投资组合和套期保值问题3.1单周期昀优投资组合模型和算法经典的Markowitz均值-方差模型8基本模型（续）9实际市场的约束•卖空和借贷的约束•成交量和持有比例的约束•交易费用、代理费和税收•投资组合中资产数量•分散性约束风险度量•绝对离差•下半矩•Worstconditionalexpectation(WCE)10在险值（VaR）及相关风险•Valueatrisk(VaR)ofXatlevel•Tailconditionalexpectation(TCE)•Expectedshortfall•Coherentriskmeasures.•Convexriskmeasure•Non-linearexpectationandg-expectation())}{(][1)(}{ααααα−≤−−=≤xXPxXIEXESxX昀优投资组合的搜索算法•二次规划(Quadraticprogramming,suchasWolf's(1959)adaptationofsimplexmethod)•混合整数-非线性规划(Mixedintegernonlinearprogramming)•动态规划(Dynamicalprogrammingformulti-periodmodel).11要计算目标函数导数的算法•牛顿法•区间分割法•线搜索法•梯度法(昀速下降法)•共轭梯度法•拟牛顿法(变尺度法)•内点法(interiorpointalgorithm)直接计算法•交替方向法•模式搜索法•单纯形法•共轭方向法•差分拟牛顿法•遗传算法(geneticalgorithm)•模拟退火算法(simulatedannealing)•粒子群算法(particleswamoptimization)•普适的一般演化算法123.2离散时间动态昀优投资组合问题•收益率向量•初始财富•初始债务•债务增长方程•投资组合•自融资策略•终期财富)',,,(10tnttteeee=()')(,),(),(00201ttnttttteeeeeeZ−−−=00x00l11++=tttqll)',,(1tntt=10,11'++++=tttttZweXXTTTlXS−=:昀优投资组合模型•Li-Ng(2000):相关矩阵满秩,无债务•陈文才,叶中行(2005):相关矩阵降秩且有债务,卫淑芝,叶中行（2007）:有破产约束1,,2,1,')(..)(min1110,11−==+=≥+++++TtqllandZweXXrSEtsSVarimizettttttttTT13模型的转化(解嵌入技术)1,,2,1,')(min1110,112−==+=−+++++TtqllandZweXXSSEimizettttttttTTθβ3.3连续时间均值-方差昀优投资组合和套期保值问题•资产动态方程•允许策略•财富方程))'(,),(()(1twtwtwn=[]{}⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=∑∑==011)0()()()()()()()()()(xXtdWttwdttwtrtdttrtXtdXninjjijiiiσμ[]⎪⎩⎪⎨⎧==+===∑=niqPtdWtdtttPtdPqPdttrtPtdPiinjjijiii,,2,1,)0()()()()()()0()()()(10000σμ14问题1:均值-方差套期保值模型•(Duffie&Richardson(1991),Schweizer(1992,1994,1996),Gourieroux,Laurent&Pham(1998),Laurent&Pham(1999)2)(minξ−TXEw问题2:方差昀优鞅测度•Schweizer(1996),Delbaen&Schachermayer(1996),Gourieroux,Laurent&Pham(1998,1999),Laurent&Pham(1999)•其中是以下SDE的解这个问题是均值-方差问题的对偶问题2)(minTEχθχ[][]⎩⎨⎧=−+−−=−1)0(,)'(',)()(1χθσσσσλχχdWIdWrdtttd15问题3:均值-方差昀优投资组合模型•以上3个问题都是linear-quadraticcontrolproblem(LQ),它们可以通过解相伴的Riccati方程解决.η=−TTTwEXtsXEXE..)(min2推广:带随机系数的一般随机LQ问题(Yong,Zhou,Kohlmann&Tang)StochasticLQproblemforarbitaryinitialstateStochasticMaximumPrincipleforarbitaryinitialstate(LinearstochsticHamiltonsystemforarbitaryinitialstate)StochasticRiccatiequation(Hamilton-Jacobi-BellmanEquation)8816不完全市场均值-方差昀优投资组合和套期保值模型•资产方程•理赔过程其中是由和S共同驱动的Cox过程,•财富过程•套期保值问题:[]⎩⎨⎧++=+=)(),,()(),,(),,()(),,(),,(22111tdWSttdWStdtStdtdWStdtStSdStttttttttttttθβθβθαθθσθμ∑==tNmmtZR1}{tNN=θtutuuxtRdSSxX−+=∫0,ππηηππ=−,2,..minxxwTTEXtsXE进一步推广•资产过程带跳：例含可违约债券、信用风险、边信息等。(Xiong,Kohlmann&Ye2007,Xiong&Kohlmann2007)•指数套期保值和它的对偶“昀小熵鞅测度”问题(Xiong&Kohlmann2007)•有一般跳的市场均值-方差套期保值问题：有符号鞅测度情形(open)•证券组合保险、再保险问题：非经典的随机脉冲昀优控制问题。174.期权定价问题金融衍生产品•远期(forward)•期货(futures)•掉期(互换swap)•期权(option)•信用衍生产品(creditderivatives)•保险衍生产品期权的类型•看涨期权（买入期权，calloption）：购买人有权利（但不是义务）在约定时间向期权出具人购买特定数量的特定商品或有价证券。•看跌期权（卖出期权，putoption）：卖出的权利。•欧式期权（Europeoption）：只能在到期日实施。•美式期权（Americanoption）：可以在到期日或之前的任何一个交易日实施，因此比在欧式期权价高。•复合期权和特异期权18复合期权和特异期权•特异期权：亚式期权，百慕大期权，挡板期权等•复合期权：组合期权，期权的期权等•信用衍生产品：信用互换（CDS），信用利差期权(CSO),债务抵押债券（CDO,分CLO（Loan）和CBO（Bond））,另外有混合型，合成型（SyntheticCDO）•保险衍生产品：再保险、分保险等完全市场期权定价理论•以布莱克（Black，F.）-肖尔斯（Scholes,M.S.）的期权定价公式（1973）为标志的期权定价理论其基本方法有无套利定价、偏微分方程和风险中性定价的鞅方法，而他们在完全市场条件下本质上是一致的。•所谓完全市场是指作为定价出发点的基本资产（无风险证券、标的资产等）能使各种风险资产都可以表示为它们的组合，对于完全市场条件下的期权定价理论已比较成熟。•二叉树方法19期权定价的偏微分方程方法期权价格：);,;,;,(rTEtSVμσ，其中S：标的资产价t：当前时刻σ：资产价格波动率μ：资产价均值E：敲定价（执行价）T：到期日r：无风险利率期权定价的Black-Scholes公式一些假设:（1）市场无摩擦性，无税收，无交易成本，资产可以无限细分，无卖空限制。（2）存在不变的无风险利率。（3）无红利。设t时刻股票价格)(tS满足随机微分方程：))()(()(tdBdttStdSσμ+=其中)(tB是一维布朗运动。20无套利定价设期权价格为),(tSV，由Ito公式得：SVSdttVSVSSVSdV∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=σσμ)21(2222(1)现构造一个投资组合：购买1份期权，卖空Δ份标的资产，总资产为)3()2(dSdVdSVΔ−=ΠΔ−=Π（1）代入（3）得tdBSVSdtStVSVSSVSd)()21(2222Δ−∂∂+Δ−∂∂+∂∂+∂∂=Πσμσμ其中dt这项是确定性的，tdB这项是随机的为消除随机因素带来的风险，应使这项=0，即SV∂∂=Δ（这叫delta-对冲），对冲后dtSVStVd)21(2222∂∂+∂∂=Πσ21Black-Sch