山西省山大附中2013届高三12月月考数学理试题

开始A=1k=1B=2A+1A=Bk=k+1k5?输出A结束是否山西大学附中2012~2013学年度第一学期高三年级十二月月考数学试题（理）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1．若集合A=}40{，,B=}2{2a，，则“2a”是“}4{BA”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．已知函数22)(23xxxf，则下列区间必存在零点的是（）A.(23,2)B.()1,23C.(21,1)D.(0,21)3．已知变量,xy满足约束条件211yxyxy，则3zxy的最大值为（）A．12B．11C．3D．-14．等差数列na中，若75913aa，则139SS（）A．913B．139C．1D．25．程序框图（算法流程图）如右图所示，其输出结果A（）A．15B．31C．63D．1276．设nml,,表示三条直线，，，表示三个平面，给出下列四个命题：①若l，m，则ml//；②若m，n是l在内的射影，lm，则nm；③若m，nm//，则//n；④若⊥，⊥，则∥.其中真命题为（）A.①②B.①②③C.②③④D.①③④7．定义在R上的奇函数()fx满足：对任意12,0,xx，且12xx，都有1212()[()()]0xxfxfx，则（）A．(3)(2)(1)fffB．(1)(2)(3)fffC．(2)(1)(3)fffD．(3)(1)(2)fff8．已知sinsincos,cossincosxx，则cos2x（）A.0B.1C.-1D.不确定9．如图为一个几何体的三视图，主视图和左视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A.3236B.2422C.3258D.243210．将数列13n按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是（）A．443B．453C．463D．47311.已知ABC为边长2的等边三角形，设点,PQ满足,APAB,1,AQACR，若32BQCP,则（）A.1102B.34C.122D.1212.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,FF，且两条曲线在第一象限的交点为P，12PFF是以1PF为底边的等腰三角形．若110PF，椭圆与双曲线的离心率分别为12,ee，则12ee的取值范围是（）A.(0,)B.1(,)3C.1(,)5D.1(,)9二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若321iiz，则z.14.若函数()yfx的图象在4x处的切线方程是29yx，则(4)(4)ff.15．若存在实数1[,2]3x满足22xax，则实数a的取值范围是_________________.16．给出下列三个命题：①函数11cosln21cosxyx与lntan2xy是同一函数；②若函数yfx与ygx的图像关于直线yx对称，则函数2yfx与12ygx的图像也关于直线yx对称；③若奇函数fx对定义域内任意x都有(2)fxfx，则fx为周期函数；其中真命题是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共70分）17．（本题满分10分）在ABC中，,,abc分别为三个内角,,ABC的对边，锐角B满足5sin3B。(1)求2sin2cos2ACB的值；(2)若2b，当ac取最大值时，求cos()3A的值．18．（本题满分12分）已知数列na的首项为11a，其前n项和为ns，且对任意正整数n有：n、na、nS成等差数列．（1）求证：数列2nSn成等比数列；（2）求数列na的通项公式．19．（本题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）记“函数2)(xxfx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（2）求的分布列和数学期望．20．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，1ABPA，3AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF；[(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°.21．（本题满分12分）已知函数321()1(,3Rfxxaxbxxa，b为实数）有极值，且在1x处的切线与直线01yx平行.（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数)(xf的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；22．（本题满分12分）已知抛物线24yx，过点(0,2)M的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证:||MA，||MC，||MB成等比数列；(2)设MAAC，MBBC，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．山西大学附中2012~2013学年度第一学期十二月月考高三年级数学学科（理）答案一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案ACBCCACCDBDB二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.1522i14.315.20(,)316.②③三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共70分）17．解(1)∵锐角B满足52sin,cos33BB……………1分∵21cos()sin2cos2sincos22ACACBBB1cos2sincos2BBB21528533233218．……………………5分(2)∵2222cos23acbBac，………………7分∴2242223acacac∴3,3acacac当且仅当时，取到最大值………9分∴2222622623bcabacbcc取到最大值时，cosA=．∴2130sin1cos166AA∴613036310cos()coscossinsin333626212AAA……10分18．解：(1)证明：成等差数列、、nnSan)2()2(21nSSanSnannnnn，又……2分nSSSnSSnnnnn112)(2即22221nSnSnn］［2)1(221nSnSnn……4分即22)1(21nSnSnn成等比数列2nSn…6分(2)由(1)知2nSn是以43311aS为首项，2为公比的等比数列112242nnnnS又1222,2nnnnaSna……9分12nna……12分19．解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(zyxzyxzxyzyx解得……3分若函数xxxf2)(为R上的偶函数，则=0当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．…4分)1)(1)(1()0()(zyxxyzPAP24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0∴事件A的概率为24.0……6分（2）依题意知20，则的分布列为02P24.076.0∴的数学期望为52.176.0224.00E……12分20．.解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，12，12)，D(3，0,0)，设BE＝x(0≤x≤3)，则E(x,1,0)，PE→·AF→＝(x,1，－1)·(0，12，12)＝0，∴PE⊥AF.(3)设平面PDE的法向量为m＝(p，q,1)，由m·PD→＝0m·PE→＝0，得m＝(13，1－x3，1)．而AP→＝(0,0,1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，所以sin45°＝22＝|m·AP→||m||AP→|，∴113＋(1－x3)2＋1＝12，得BE＝x＝3－2或BE＝x＝3＋23(舍)．故BE＝3－2时，PA与平面PDE所成角为45°.21．解:（1）321()1,3fxxaxbx2()2,fxxaxb由题意(1)121,fab2.ba①…………………………………………………………2分.02)(,)(2有两个不等实根方程有极值baxxxfxf22440,0.abab②……………………4分由①、②可得，220.20.aaaa或故实数a的取值范围是),0()2,(a……………………………………6分（2）存在8.3a……………………8分由（1）可知0)(,2)(2xfbaxxxf令，22122,2.xaaaxaaax),(1x1x),(21xx2x)(2x)(xf+0－0+)(xf单调增极大值单调减极小值单调增11231)(,)(,2223222axaxxxfxfxx则取极小值时，06302222aaxxx或.……………………………………………………9分220,20,0().xaaaa若即则舍……………………………………10分2222222222360,()0,220,40.80,4,242.3xaxafxxaxaaxaaxaaaa若又)(,38xfa使得函数存在实数的极小值为1.………………………………12分22．解：(1)设直线l的方程为：2ykx(0)k，联立方程可得224ykxyx得:22(44)40kxkx①设11(,)Axy，22(,)Bxy，2(,0)Ck，则12244kxxk，1224xxk②2221224(1)||||1|0|1|0|kMAMBkxkxk，而2222224(1)||(1|0|)kMCkkk，∴2||||||0MCMAMB，即||MA，||MC、||MB成等比数列…………6分(2)由MAAC，MBBC得，11112(,2)(,)xyxyk，22222(,2)(,)xyxyk即得：112kxkx，222kxkx，则212122121222()2()4kxxkxxkxxkxx由(1)中②代入得1，故为定值且定值为1………12分