二次型与二次曲面

1第七章二次型与二次曲面二次型的定义定义：n个变量n,x,,xx21的二次齐次多项式jiijninjjiijnaa,xxa,x,,xxQ1121称为n元二次型或二次形式。当系数ija取实数时，称为实二次型；ija取复数时，称为复二次型。例：3221213213xxxxx,x,xxQ例：233221213212xxxxxxx,x,xxQnnnnnnnnnnnnnnnnnnnjiijninjjiijnxxxaaaaaaaaa,x,,xxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaaa,xxa,x,,xxQ212122221112112122211222222122111211221111121令TijTnAAa,A,x,,xxx则,21，且二次型可表示为Axx,x,,xxQTn21，称A为二次型的矩阵。2xxxxxxx,x,xxQT02302302102113322121321例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A为实对称矩阵，且r(A)=n.ninjjiijnxx|A|A,x,,xxQ1121矩阵的相合设nn,β,,ββ,,α,,αα2121是n维线性空间V的两组基，这两组基的过渡矩阵为P，即P,α,,αα,β,,ββnn2121设向量V在两组基下的坐标分别为TnTn,y,,yy,y,x,,xxx2121则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：xPyPyx1或。则yAPPyAPyPyAxxαQTTTT称同一个二次函数αQ在不同基下所对应的两个二次型AxxT和ByyyAPPyTTT是等价的。定义：给定两个n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵P，使得B=PTAP，则称B与A相合（或合同）。3性质：（1）自反性：A与自身相合；（2）对称性：若A与B相合，则B与A相合；（3）传递性：若A与B相合，B与C相合，则A与C相合；结论：若矩阵A与B相合，则r(A)=r(B)，且与对称矩阵相合的矩阵也是对称矩阵。200022022000140014400040004C,B,A已知例试判断A,B,C中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同。满足关系则例设BAB,A,,00000000000000041111111111111111（1）合同且相似；（2）合同但不相似；（3）不合同但相似；（4）不合同且不相似。二次型的标准形定义：形如nnnxdxdxdαQ222211的二次型称为二次型的标准形。主轴化方法（正交变化法）（适用于实二次型）定理（主轴定理）：任一实二次型TTAAAxxαQ其中,，存在正交线性替换x=Py，其中P是正交矩阵，使得αQ化4为标准形：nnnyyyαQ222211，其中n,,,21是A的n个特征值。用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤：（1）写出二次型的矩阵A（A一定是实对称矩阵）；（2）求矩阵A的特征值，得n,,,21；（3）求相应的特征向量；（4）将特征向量作Schmidt正交化，得到标准正交的特征向量；（5）将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵P，这时有nTAPPAPP,,,diag211；（6）写出可逆线性替换x=Py，则有nnnyyyαQ222211。例：已知实二次型323121232221444xxxxxxxxxaαQ经正交变换x=Py可化成标准形216yαQ，则a=？例：用主轴化方法将二次型434232413121222222xxxxxxxxxxxxαQ为标准形。解：二次型对应的矩阵为0111101111011110A其特征多项式为：5311111111111113λλλλλλAλI所以A的特征值为3121λ，三重根。11时，由01xAIλ，求得三个线性无关的特征向量TTT,,,,,,,,,1001,0101,0011321用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：TTT123,121,121,1210,62,61,610,0,21,21321，，32λ时，求得一个单位特征向量为T21,21,21,214取正交矩阵：211230021121620211216121211216121P则PTAP=diag(1,1,1,-3)T,作正交变换x=Py,得2423222133111yyyyy,,,diagyAPyPyAxxαQTTTT配方法：（适用于任意二次型）6例：用配方法将二次型32312123222182252xxxxxxxxxαQ化为标准形。22211232323222323222123232322212323322584635Qαxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解:3213213332232111003101113xxxyyyxyxxyxxxy即令Pyyyyxxxyxyyxyyyx32132133322321110031021132即作可逆线性替换x=Py,得2322215yyyAPyPyAxxαQTTT100111112110124013231145001111112100013013010005001005例：用配方法将二次型312142xxxxαQ化为标准形。732132133212211100011011yyyxxxyxyyxyyx即解：令23223123322223132312221321212122222442242yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyαQ则32132133322311100110101即zzzyyyyzyyzyyz令则222122zzαQ为所求的标准形。所作的坐标变换为321321321321100211011100110101100011011100011011zzzzzzyyyxxx定理：任意一个二次型都可以通过可逆线性替换化成标准形矩阵的初等变换法定理：对每个实对称矩阵A，存在初等矩阵s,P,,PP21使得nsTTTs,d,,ddPPAPPPP212112diag方法：先将二次型的对应矩阵A写出，然后将单位矩阵写在8A的下面，构成一个nn2阶矩阵，当列进行初等变换后，对行向量也进行相同的初等变换，则当A变成对角阵时，I就成了所作的变换矩阵。例：用初等变换法将下列二次型32312123222182252xxxxxxxxxαQ化为标准形。2131332111100100124113013A145134034I100111111010010010001001001100100010010035005112112013013001001解：后，得到当作坐标变换令PyxP,1003102112322215yyyαQ即为标准形。9例：用初等变换法将下列二次型xxαQT111112120化为标准形。10000101011110212110000101011112110210001000111111212012IA解：例：用初等变换法将下列二次型xxαQT002001210化为标准形。10001100100200121210001100100200121110001000100200121012IA解：惯性定理和二次型的规范形10设Q为复二次型，它的秩为r，其标准形为2221122rrdydydy其中,0,1,2,iidCdir，令1,1,2,,,1,,.iiiiiyzirdyzirn则22212rQzzz规范形定理：任意一个复系数二次型总可以经过一个适当的可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。定义：称形如22222121pprzzzzz的二次型为实二次型的规范形。称p为二次型的正惯性指数，r-p为负惯性指数，正、负惯性指数的差p-(r-p)=2p-r叫符合差。定理(惯性定理)任意一个实系数的二次型，总可以经过一个适当的可逆线性替换，化成规范形，且规范形是唯一的，即正、负惯性指数由二次型唯一确定。证明：只证p的唯一性。设Q为实二次型。222221212222212112pprqqrQxPzzzzzzQxTuuuuuu11,,,pqpqzPxuTx假设，不妨设由不妨设1111221122,1,2,,,1,2,,iiiinniiiinnzaxaxaxinubxbxbxin考虑齐次线性方程组11112211122111122111220000nnpppnnqqqnnnnnnnaxaxaxpaxaxaxbxbxbxnqbxbxbx个方程个方程方程组有非零解，设为000012,,,0Tnxxxx，则100110010,,0,,,0,,,0,,00TpnTqzPxzzuTxuu分别代入(1)和(2)，有0000QxQx和，矛盾.推论对任意的实对称矩阵A，存在可逆矩阵Q使得,,0TprpQAQdiagII。注：可逆矩阵Q不唯一，但p，r由A唯一确定。注：两个实对称阵A,B合同当且仅当有相同的正、负惯性指数。12实二次型的正定性定义：如果对于任意非零向量12,,,Tnxxxx，恒有12,,,0TnQx