金融经济学第一讲md

金融经济学第一章上海财经大学金融学院金融经济学第一章§1.1偏好的期望效用表示在金融经济学中，我们需要研究人们在不确定条件下的消费-投资决策和市场上资产价格的决定，这涉及到面对不确定的选择对象时人们的判别标准。在十七世纪现代概率理论的发展中，帕斯卡(BlaisePascal)和费尔玛(PierredeFermat)等大数学家假定，在一个随机回报为、相对应的概率为的赌博中，人们关心的是它的期望回报:但该假定在1728年被N.伯努利(NicholasBernoulli)所给出的一个例子所否定，该例子现在被称为著名的圣.彼得堡悖论(St.PetersburgParadox).),...,,(21nxxx),...,,(21npppiipxxE]~[金融经济学第一章该悖论的解决由N.伯努利的堂兄弟D.伯努利(DanielBernoulli，1738)给出。D.伯努利认为，对个体而言，200元的收益并不等于100元收益的两倍，他假定个体决策时会使用一个现在被称为vonNeumann-Morgenstern期望效用函数的概念u(.)，从而个体决策时不是直接计算游戏收益的期望值，而是计算游戏收益的期望效用值。因此与上述游戏相当的财富值应该满足：此处是个体当前的财富值。如果效用函数取对数效用形式，当前财富值取元，则。因此，即使该游戏的期望收益趋于无穷，但对个体而言，该游戏的价值仅仅9元。iipxuxuE)()]~([...)4(81)2(41)1(21)(wuwuwuwuw50000w9金融经济学第一章圣.彼得堡悖论(St.PetersburgParadox)：假定一位个体面对一个抛硬币的赌博游戏，第一次抛出正面时该个体得到1元RMB，游戏结束；否则继续抛第二次硬币。第二次抛出正面得到2元RMB，游戏结束；否则继续抛第三次硬币。第三次抛出正面得到4元RMB，游戏结束；否则继续抛第四次硬币。第四次抛出正面得到8元RMB，游戏结束；否则继续抛第五次硬币;…。问该个体愿意支付多少财富来参与该赌博游戏？按照帕斯卡和费尔玛等人的思路，个体愿意支付的财富等于该赌博游戏的期望回报。在该赌博游戏中，期望回报满足：即个体愿意支付正无穷的财富，来参与该赌博游戏。这个结论显然是不合理的，因此被看作是一个悖论....48124121]~[xE金融经济学第一章上述分析表明，由于不确定性的存在，我们需要引入期望效用函数的概念。偏好的期望效用表示有两种引入方式：第一种推导由vonNeumann和Morgenstern(1944)给出，他们的推导建立在个体对彩票选择的假定之上，其中彩票的收益和概率是预先指定的，他们的期望效用理论是一种客观期望效用理论。偏好期望效用表示的另一种推导由Savage(1954)给出，不同于vonNeumann和Morgenstern(1944)理论，在Savage的处理中，概率是在特定公理体系下推导出来的，而不是预先给定的，因此Savage的理论是一种主观期望效用理论。下面我们来介绍vonNeumann和Morgenstern(1944)的期望效用表示理论。金融经济学第一章1.1不确定条件下的选择问题一、消费计划与偏好关系考虑一个两期经济，t=0、1。个体在时间0时做出投资决策，时间1时将所有财富用于消费。为简化讨论，假定时间1时只有一种消费品。由于经济中存在着不确定性，个体所持有的金融资产在时间1时的回报依赖于不确定的经济环境。自然状态：不确定的经济环境可以用一个概率空间来刻画，其中的元素称作自然状态，是对从时间0到时间1的不确定环境的一个刻画，为这些自然状态的全体，刻画了各个自然状态发生的概率，该概率是预先给定的，是客观概率。),,(PFP金融经济学第一章消费计划：定义：一个消费计划是不同自然状态下消费数量的一个完备刻画。每个消费计划都可以用一个可测函数来刻画，当自然状态发生时，表示该状态下的可行消费数量。消费计划的全体记为X，即可供选择对象的全体。偏好关系：给定可供选择消费计划的全体X，我们可以在X上定义一个二项关系,其中代表“x至少要比y好”，代表“x严格地好于y”，x～y代表“x和y是无差异的”。如果该二项关系服从：（1）完备性：任意，有或；（2）反身性：任意，有x～x；（3）传递性：任意，如果，，则有。则称该二项关系是一个偏好关系。)(:RZZx)(xyxyxXyx,yxxyXxXzyx,,yxzyzx金融经济学第一章定义：一个函数称为是偏好关系“”的效用函数表示，如果对任意，有。二、彩票(Lottery)与期望效用函数个体在做决策时并不知道未来哪个事件会发生，他关心的是未来能得到多少消费品，概率有多大。在例1.1中，决策时消费计划是y和z相当的，尽管在具体自然状态展示出来后回报并不相同。记经济中所有可能实现的消费量的全体为：(1.1.1)任意一个消费计划，存在一个定义在Z上的概率密度函数与之对应，满足：。(1.1.2)RXH:Xyx,yx)()(yHxH},|)({XxxZ},)(|{Pr)(zxobzpx金融经济学第一章相应地，累计概率分布为。在或有消费计划与定义在Z上的概率分布之间建立了一个对应关系：，每一个，对应着Z上的一个概率分布P；反过来，Z上的一个概率分布P可以有多个消费计划与之相对应，这些消费计划有相同的分布，他们应该是无差异的。我们将所有Z上的概率分布记为：定义在X上的偏好关系可以简化为定义在Z上的偏好关系。中每一个概率分布都可以被看作是一个彩票。对任意的，记为在点z处退化的概率分布，满足：(1.1.3)},)(|{Pr)(zxobzFx),(),(1PxZPxXx}{上的概率分布ZZzzPzzzzzPz'0'1)'(如果如果金融经济学第一章例子1.1：33333153435341312435)(x)(y)(z金融经济学第一章如果Z是一个有限集合，记,,则在Z中可以定义两个确定性的彩票和，满足对任意的，有。vonNeumann和Morgenstern(1944)给出了定义在上的期望效用表示理论。对于定义在上的偏好关系“”，存在一个期望效用函数，满足：对任意，有：其中。当Z是一个可数集合时，期望效用函数可以简化为：}|max{0Zzzz}|min{0Zzzz0zP0zPp00zzPpP(.)][uEXyx,yxyxpp)]~([)]~([yuExuEZxxdFzudPxuxuE)()()()]([ZzzpzuxuE)()()]([金融经济学第一章1.2期望效用函数的存在性一、复合彩票定义：称彩票是一个由彩票和构成的复合彩票，如果该彩票以a的概率得到彩票，以1-a的概率得到彩票。复合彩票也可以看作是一个普通彩票，如果彩票和定义在集合Z上，则复合彩票也定义在Z上，且对任意的，其概率密度为。raap)1(prprraap)1(Zz)()1()(zrazapraap)1(pr金融经济学第一章二、期望效用函数的存在性vonNeumann和Morgenstern(1944)的期望效用表示定理建立在如下两个公理之上。公理1（独立性公理）：对任意，，如果，则有。公理2：（Archimedean公理）对任意，如果，则存在，使得。定理1.1.1：定义在上的偏好关系“”存在期望效用表示，当且仅当该偏好关系满足公理1和公理2；该效用表示精确到一个仿射变换，即如果u是一个vonNeumann-Morgenstern效用函数，则对于任意的和d，也是一个vonNeumann-Morgenstern效用函数。rqp,,]1,0(aqpraaqraap)1()1(rqp,,rqp]1,0(,barbbpqraap)1()1(0cdcuuˆ金融经济学第一章如果vonNeumann-Morgenstern效用函数是时间可加的(time-additive)，则存在一列函数，满足：(1.1.10)在许多时候，上述效用函数可以进一步简化为一个几何贴现效用函数：，。(1.1.11)Tttu0(.)}{TzttTzuzzu00)(),...,(TzttTzuzzu00)(),...,(10金融经济学第一章二、多期经济中的期望效用函数考虑一个多期禀赋经济，整个消费过程横跨T+1期，t=0,1,…,T，记为个体可行的消费向量，其中为t期消费量，记Z为z的全体。假定Z有限，为定义在Z上的概率，p(.)的全体记为。定理1.1.2：定义在上的一个偏好关系“”满足独立性公理和Archimedean公理，当且仅当存在一个vonNeumann-Morgenstern效用函数，满足：其中指从时间0到T的消费等于的概率。),,,(10Tzzzztz(.)p(.)uZzZzTTTTzzzqzzuzzzpzzu),,(),,(),,(),,(0000qpqp,任意),...,(0Tzzzp),...,(0Tzz金融经济学第一章1.1.3对理性选择的偏离：四个悖论个体选择行为的完全理性和期望效用函数的存在性（两个公理）是现代金经济学的基础。但越来越多的研究表明，当存在不确定性行为时，个体决策并不是完全理性的，或者与期望效用理论并不一致（见Machina(1987)、Tversky和Kahneman(1981)、Slovic和Lichtenstein(1983)等。下面我们来介绍几个相关的悖论。一、悖论1（概率匹配）把20个红球和10个黑球一起放入一个袋子，随机地从袋子中取出一个球再放回去，猜测所取出的球是红色的，还是黑色的，猜中的话可以得到10元RMB的奖励。在重复猜奖中，实验发现绝大多数个体趋向于2/3的时间选择猜红球，1/3的时间猜黑球。很显然这不是最优的，最优选择应该是总是猜红球。金融经济学第一章二、悖论2（偏好反转）考虑两个选择问题：（1）设想你可以得到2万人民币的财富和一个选择权，你可以选择:(a)额外再得到5千人民币，(b)25%的概率额外再得到2万人民币，75%的概率没有额外收入。（2）设想你可以得到4万人民币的财富和一个选择权，你可以选择:(a)放弃1万5千人民币，(b)75%的概率放弃2万人民币，25%的概率没有额外损失。在试验中发现，大多数个体在面对问题（1）时会选择(a)；在面对问题（2）时会选择(b)。但事实上这两个选择问题所产生的回报是相同的，是100%的概率得到2万5千人民币，还是25%的概率得到4万人民币，75%的概率得到2万人民币。金融经济学第一章三、悖论3（Ellsberg悖论）在密闭的缸I中有50个红球和50个黑球，在缸II中有100个不知道比例的红球与黑球。考虑一个摸球游戏：（I）个体从缸中摸到一个红球时可以赢得100RMB，个体可以选择从缸I中摸（）还是从缸II中摸（）；（II）个体从缸中摸到一个黑球时可以赢得100RMB，个体可以选择从缸I中摸（），还是从缸II中摸（）。实验发现，绝大多数个体会选择和，但这与偏好的理性选择行为是不一致的。从逻辑上讲，个体在和中更偏爱，等价于在和中更偏爱，因此如果绝大多数个体选择的话，应该只有很少的个体会选择才对，这说明真实经济中个体决策中存在非理性的成分。IRIIRIBIIBIRIBIRIIRIRIBIIBIIBIRIB金融经济学第一章四、悖论4（Allais悖论）Allais悖论由Allais（1953）给出。考虑如图1.1所示的两对彩票：在第一对彩票中，持有彩票，个体可以以100%的概率得到1000万美元；持有彩票，个体可以以10%的概率得到5000万美元，以89%的概