学思想方法同步讲座第2讲函数方程是一组方法

北中数学网共5页第1页学思想方法同步讲坐第2讲函数方程是一组方法数学思想不仅用来解释数学，思想一旦投入应用，必然形成具有操作性的法则.常见的待定系数法，配方法，参数法等，都是函数方程思想的具体运用.将函数方程用于图形，则形成了解析法、三角法等.将函数方程用于不等式，则形成了比较法、放缩法等.【例1】)1(22,3nnn求证.【分析】函数与方程用于证不等式，各有各的办法.(1)不等式来自方程的倾斜；（2）不等式来自函数的单调.【解1】（方程倾斜法）由二项式展开式系数的和，得方程nnnnnnCCCC210)11(（1）将方程（1）的右边的中间项去掉，只留前2项和后2项，则方程倾斜成不等式)1(22nn这就是求证的不等式.【解2】（函数单调性）设函数)1(22)(xxfx①得f（3）=0，即23=2（3+1）又22ln2)(xxf当x3时，024ln422ln222ln23x函数)1(22)(xxfx为增函数即0)1(22xx即n3时，)1(22nn②综合①、②知不等式2n≥2（n+1）成立（n≥3）.北中数学网共5页第2页【例2】已知a、b、c∈R，且a+b+c=1,1222cba，则a的范围为_______.【解析】由222)1(21abccbacb平方得又，则，由此得到启示b+c与bc都可用a表示，故b、c是关于x的一元二次方程0)1(22aaxax的两根.故0123,0)(4)1(222aaaaa.解得.131a【点评】当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决.【例3】数列na中，12a1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式．【解析】（I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc，解得0c或2c．当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c．（II）当2n≥时，由于21aac，322aac，1(1)nnaanc，所以1(1)[12(1)]2nnnaancc．又12a，2c，故22(1)2(23)nannnnn，，．当1n时，上式也成立，所以22(12)nannn，，．北中数学网共5页第3页【例4】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=23，已知点P（0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.【解析】设椭圆方程为)0(12222babyax.∵e=23ac，∴c2=243a，由a2=b2+c2得a=2b，故所求椭圆方程就是).0(142222bbybx设M（x，y）是椭圆上任一点，则x2=4b2-4y2.∵-b≤y≤b，∴为求|PM|max，讨论21与［－b，b］之间的关系即可确定.若b≥21，则当y=-21时，|PM|max＝7342b，∴b=1.若0b21，则当y=-b时，|PM|max=723232bb无解.综上所述，b=1.故所求椭圆方程为1422yx北中数学网共5页第4页∵|PM|max=7时，y=-21，∴x=±34414，故椭圆上到Ｐ点距离等于7的点有两个21,3.【点评】本题是用待定系数法求椭圆的标准方程的，要求出a，b两个量，那么需构造a，b两个量的方程组，这是方程思想的运用；而本题中的一个重要条件是椭圆上的点与点Ｐ（０，23）的最远距离是7，这个条件的使用首先要构建这两点距离的目标函数，再求最大值，这是函数思想的运用.对应训练1.a∈R时，方程asinx+cosx=a+a1（）（A）至少有一解（B）至多有一解（C）一定有两解（D）肯定无解2.设函数f（x）=x2+x+21的定义域是[n，n+1]（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有________个整数．3.三棱锥S-ABC，SA=x，其余的所有棱长均为1，它的体积V；（Ⅰ）求V=f（x）的解析表达式，并求此函数的定义域；（Ⅱ）当x为何值时，V有最大值？并求此最大值．对应答案1.D方程可化为aaxa1)sin(12（其中φ满足atg1），则aax1)sin(21)sin(,1)sin(1|,|122xxaaaaa或则这样的实数x不存在，原方程无解．2.2n+2由于当x=n（n∈N）时，x2+x+N21，所以当x∈[n，n+1]内变化时，只须计算两个边界值的函数值之间相差的整数的个数．北中数学网共5页第5页∴22]21[21)1()1()()1(22nnnnnnfnf3.如图．（Ⅰ）取BC中点D，连SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD．作DE⊥SA于E，由于SD=AD23，则E是SA的中点，.312131.34132121.321)2()23(222222xxSBCVVVxxxxSxxDESADSADCSADBSAD∴23121)(xxxf的定义域是)3,3(．（Ⅱ）2222222222)23(121)23(121)3(121xxxxV.8123121V等号在x2=3-x2时即x=26时成立，∴当x=26时，体积V最大为1/8．【点评】求最大（或最小）值问题，设所求量为函数并求出其解析表达式，然后利用代数中有关的知识求得结果，并给出解答．本题的几何解法为：设三棱锥S-ABC的高为h，因为底面△ABC的面积为定值43，所以h大则体积也大．因为h≥SD，当h=SD=23时，体积最大，此时26)23()23(22x．