学案31一元二次不等式及其解法

学案31一元二次不等式及其解法自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集a0{x|xx1，或xx2}{x|x≠____}______a0{x|x1xx2}________自我检测1．（2013年高考重庆卷（文））关于x的不等式22280xaxa(0a)的解集为12(,)xx,且:2115xx,则a（）A．52B．72C．154D．1522．设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．34．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围为________________.探究点一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)－x2＋2x－230；(2)9x2－6x＋1≥0.变式迁移1【2012高考湖南文12】不等式x2-5x+6≤0的解集为______.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a0.变式迁移2【2012高考江苏13】（5分）已知函数2()()fxxaxbabR，的值域为[0)，，若关于x的不等式()fxc的解集为(6)mm，，则实数c的值为．探究点三一元二次不等式恒成立问题例3【2102高考福建文15】已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.变式迁移3(1)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋32对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．(2)若不等式x2＋px4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．1．(2010·抚顺模拟)已知集合P＝{x|x＋1x－10}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件__________．2．(2011·泉州月考)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)1的解集为__________________．三、解答题(共38分)3．(12分)解关于x的不等式x－ax－a20(a∈R)．4．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x|－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．5．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．学案31一元二次不等式及其解法自主梳理1．【答案】A2.－b2a－b2aR∅∅自我检测1．C2.A3.A4.D5．(－∞，－5]解析记f(x)＝x2＋mx＋4，根据题意得Δ＝m2－160，f1≤0，f2≤0，解得m≤－5.课堂活动区例1解题导引解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c0(a0)，ax2＋bx＋c0(a0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋20，因为30，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x|1－33x1＋33}．(2)∵不等式9x2－6x＋1≥0，其相应方程9x2－6x＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x＝13，结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1【答案】23xx例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解．(1)a＝0时，解为x0.(2)a0时，Δ＝4－4a2.①当Δ0，即0a1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为1±1－a2a，∴不等式的解集为{x|1－1－a2ax1＋1－a2a}．②当Δ＝0，即a＝1时，x∈∅；③当Δ0，即a1时，x∈∅.(3)当a0时，①Δ0，即－1a0时，不等式的解集为{x|x1＋1－a2a或x1－1－a2a}．②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)20，∴解为x∈R且x≠－1.③Δ0，即a－1时，x∈R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；当0a1时，解集为{x|1－1－a2ax1＋1－a2a}；当a＝0时，解集为{x|x0}；当－1a0时，解集为{x|x1＋1－a2a或x1－1－a2a}；当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；当a－1时，解集为{x|x∈R}．变式迁移2【答案】9。例3【答案】)8,0(．变式迁移3解(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋20，∴不等式4x＋mx2－2x＋32同解于4x＋m2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m0.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m0对任意实数x恒成立．∴Δ0，即64－8(6－m)0，整理并解得m－2.∴实数m的取值范围为(－∞，－2)．(2)∵x2＋px4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋30.令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)0，只要有g00g40.∴x3或x－1.∴实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．课后练习区1．D[化简得P＝{x－1，或x1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在包含关系，所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．]2．(2,3)∪(－3，－2)解析由导函数图象知当x0时，f′(x)0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x0时，f′(x)0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x2－6)1等价于f(x2－6)f(－2)或f(x2－6)f(3)，即－2x2－6≤0或0≤x2－63，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．3．解x－ax－a20⇔(x－a)(x－a2)0，(2分)①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅；(4分)②当a0或a1时，aa2，此时axa2；(7分)③当0a1时，aa2，此时a2xa.(10分)综上，当a0或a1时，原不等式的解集为{x|axa2}；当0a1时，原不等式的解集为{x|a2xa}；当a＝0或a＝1时，原不等式解集为∅.(12分)4．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为x|－13≤x≤2，知a0，(3分)又－13×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，(6分)∴－ba＝53，即ba＝－53.又∵ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.(8分)∴不等式cx2＋bx＋a0变为－23ax2＋－53ax＋a0，即2ax2＋5ax－3a0.又∵a0，∴2x2＋5x－30，∴所求不等式的解集为x|－3x12.(12分)5．解(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.(4分)(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分)②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a2－2，g－2≥0，即a2－43－a≥0，－a2－2，4－2a＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a4，a≤73，解之，得a∈∅.(10分)③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a22，g2≥0，即a2－43－a≥0，－a22，4＋2a＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a－4，a≥－7⇔－7≤a≤－6.(13分)综合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)