高考数学复习点拨-约会型几何概型问题

谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||yx，如图由于),(yx的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A因此，两人见面的概率167604560)(222AP点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面yx,必须满足15||yx，于是，结论也就顺其自然的产生了。例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则10||yx，如图由于),(yx的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待”为事件A因此，这两列火车必须等待的概率是3611605060)(222AP点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用yx,表示，结论很快产生。例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，所以，由xyyx5.75.676得8760302160)(222AP，即小强能见到小明的概率是87。点评：与前两例很相似，但又有很大不同；两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现76x是小强到的时间，5.75.6y是小明离家时间，要相见必须xy，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论。例4、水池的容积是320m，向水池注水的水龙头A和水龙头B水的流速都是31m/小时，它们在一昼夜内随机开24~0小时，求水池不溢出水的概率。解：设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，当然，0,0yx，水池不溢出水，则20yx记“水池不溢出水”为事件A，则A所占区域面积为200202021，整个区域的面积为5762424由几何概型的概率公式，得35.0576200)(AP即水池不溢出水的概率约为91.0。点评：由两个龙头引出两个变量x、y，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开24~0小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解。例5、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率。解：设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23路车”为事件A，则A所占区域面积为13687108整个区域的面积为1501510那么，等车不超过8分钟的概率91.0150136)(AP即这位同学等车不超过8分钟的概率约为91.0。点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解。例6、在一条长为2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为|||,|yx，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件A，则事件A：1|),(22yxyx，由于1||,1||yx因此421)(22AP，即到中点距离平方和小于1的概率为4（2）设线段上三点到线段中点的距离分别为|||,||,|zyx，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B，则事件B：1|),,(222zyxzyx，由于1||,1||,1||zyx因此，62134)(33BP，即到中点距离平方和小于1的概率为6点评：第一小问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了。当然也就可以借助于“约会型”概率问题进行求解。第二小问是第一问类比产生的，有了第一小问的求解，第二小问也就很自然了。快速移民崬叺夻