高中对数与对数函数练习题基础版(教师)

1对数和对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．2、对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya．2解：（1）由2x0得0x，∴函数2logxya的定义域是0xx；（2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4xx；（3）由9-02x得-33x，∴函数)9(log2xya的定义域是33xx．例2．求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。解：（1）125xy∴115()log(2)fxx(-2)x；（2）211-22xy∴-112()log(-2)fxx5(2)2x．例3．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log3.4，2log8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log5.1a，log5.9a.解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log3.42log8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log5.1alog5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log5.1alog5.9a．例4．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log7，7log6；（2）3log，2log0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log3，6log3，7log3．解：（1）∵66log7log61，77log6log71，∴6log77log6；（2）∵33loglog10，22log0.8log10，∴3log2log0.8．(3）∵0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，∴0.91.10.7log0.81.1log0.9．（4）∵3330log5log6log7，∴5log36log37log3．例5．求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a且1a）．解：（1）令3tx，则2logyt，∵0t，∴yR，即函数值域为R．（2）令23tx，则03t，∴2log3y，即函数值域为2(,log3]．（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log3ay，即值域为[log3,)a，3当01a时，log3ay，即值域为(,log3]a．例6．判断函数22()log(1)fxxx的奇偶性。解：∵21xx恒成立，故()fx的定义域为(,)，22()log(1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1()xxfx，所以，()fx为奇函数。例7．求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3[,)2上递增，在3(,]2上递减，又∵2320xx，∴2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又∵132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例8．若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2()ugxxaxa，∵函数2logyu为减函数，∴2()ugxxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，∴132(13)0ag，解得2232a，所以，a的取值范围为[223,2]．解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log()()1232210322102103221132210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx例9(1)y=log(2)y=11log(a0a1)(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]12a13求函数的定义域．求函数＞，且≠的定义域．已知函数的定义域是，，求函数－的定义3221xxxa()4121122312231＜≤＜或＞≠＜≤xxxxx∴所求定义域为＜≤{x|23x1}解(2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．解(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]13∵的定义域为，，∴函数－有意义，必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log(3x)1loglog(3x)log13133x12xy=f[log(3x)][2]131313131318383域和值域．解y=10y1y=10(1y)10=y10=y1y00y1xxxx已知函数的定义域为，∵∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．R110110xx由得，即反函数．10=y1yx=lgy1yf(x)=lgx1xx1反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．例11作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)(2)y=log2|x＋1|(3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122－，＝－．解(1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．解(2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．解(3)y=logx1y=log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到－的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－xy=|log(x1)|28512所示例10y=10x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110x5单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．解(4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．单调递减区间是(－∞，1)．顺序是：_____．解aba1011logab0logba00loga1logb1aba1a1logloga1logloglogalogb2abba2bbabba∵＞＞＞，∴＜＜，＞，∴＜，＞，＜＜，＞．由＞＞＞得＞＞∴＜＜，故得：＜＜＜．abbababaabba奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－x∈Rf(x)=log(1+xx)=loga2a－－()()111222xxxxxx=log=log=logaaa1111122222xxxxxxxxfx()()∴f(x)是奇函数．解法二已知函数的定义域为R由＋－＋＋－f(x)f(x)=log(1+xx)log(1+xx)=log1+x1+xa22a22[()()]xx=loga1=0∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．例12aba1logloglogalogb2abba若＞＞＞，则、、、的大小abba例13f(x)=log(x)(a0a1)a已知函数＋＞，且≠，判断其12x6单元测试一、选择题1．若3a=2,则log38-2log36用a的代数式可表示为（）（A）a-2（B）3a-(1+a)2（C）5a-2（D）3a-a22.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则NM的值为（）（A）41（B）4（C）1（D）4或13．已知x2+y2=1,x0,y0,且loga(1+x)=m,logayanxlog,11则等于（）（A）m+n（B）m-n（C）21(m+n)（D）21(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）（A）lg5·lg7（B）lg35（C）35（D）3515.已知log7[log3(log2x)]=0，那么x21等于（）（A）31（B）321（C）221（D）3316．函数y=lg（112x）的图像关于（）（A）x轴对称（B）y轴对称（C）原点对称（D）直线y=x对称7．函数y=log2x-123x的定义域是（）（A）（32，1）（1，+）（B）（21，1）（1，+）（C）（32，+）（D）（21，+）8．函数y=log21(x2-6x+17)的值域是（）（A）R（B）[8，+]（C）（-，-3）（D）[3，+]9．函数y=log21(2x2-3x+1)的递减区间为（）（A）（1，+）（B）（-，43］（C）（21，+）（D）（-，21］10．函数y=(21)2x+1+2,(x0)的反函数为（）（A）y=-)2(1log)2(21xx（B）)2(1log)2(21xx（C）y=-)252(1log)2(21xx（D）y=-)252(1log)2(21xx711.若logm9logn90,那么m,n满足的条件是（）（A）mn1（B）nm1（C）0nm1（D）0mn112.loga132，则a的取值范围是（）（A）（0，32）（1，+）（B）（32，+）（C）（1,32）（D）（0，32）（32，+）14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）（A）y=log21(x+1)（B）y=log212x（C）y=log2x1（D）y=log21(x2-4x+5)15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）（A）y=2x