坐标系与参数方程教案

高三理科专用1坐标系与参数方程坐标系与参数方程在高考中根据各省的情况而选考，一般是5-10分的比较容易的题，常与几何证明选讲，不等式选讲和矩阵与变换等多个选修模块进行选择其一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。一、极坐标平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为),(yx和),(，则有cossinxy和222tanxyyx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由。注意在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角。当＜0时，点M（，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M（，）也可以表示为))12(,()2,(kk或)(zk1．直接求解例1．在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程。解：由题意可知圆的标准方程为2239xy，圆心是(3．0)所求直线标准方程x＝3，则坐标方程为cos＝3．答案：cos＝3．评注：在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题。例2．（08广东卷理13）已知曲线12CC，的极坐标方程分别为cos3，高三理科专用2π4cos002，≥≤，则曲线1C与2C交点的极坐标为．分析：本题给出的是极坐标方程，而所求的交点为极坐标，可以直接求解。解：联立解方程组cos3(0,0)4cos2解得236,即两曲线的交点为(23,)6。答案：(23,)6评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解。当然也可以转化为普通方程解答。2．由极坐标求最值例3．（2009大丰市）已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。分析：可以把极坐标方程转化为普通方程，再结合图形解答问题。解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－32)2＋y2=94ρcosθ=1即x=1直线与圆相交。所求最大值为2，最小值为0评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法。例4．（2008盐城市）在极坐标系中,设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d,求d的最大值.分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答。解法一、将极坐标方程3转化为普通方程：229xy，cos3sin2可化为32xy，在229xy上任取一点A3cos,3sin,则点A到直线的距离为03cos33sin26sin(30)222d,它的最大值为4解法二、将极坐标方程3转化为普通方程：229xy，cos3sin2可化为32xy，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4。评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想。3．极坐标方程研究两曲线的位置关系例5．（江苏省南通市2008-2009）求直线12,12xtyt（t为参数）被圆3cos,3sinxy（α为参数）截得的弦长．分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长。高三理科专用3解：把直线方程12,12xtyt化为普通方程为2xy．将圆3cos,3sinxy化为普通方程为229xy．圆心O到直线的距离222d，弦长22229227LRd．所以直线12,12xtyt被圆3cos,3sinxy截得的弦长为27．评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参。二、参数方程参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为),(yx；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转的有关问题选取角做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数。三角法：利用三角恒等式消去参数。整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为0),(yxF：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(tf和)(tg值域得x、y的取值范围。常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义。在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答。1．两曲线的位置关系例1．（08海南、宁夏理）已知曲线C1：cossinxy，（为参数），曲线C2：22222xty，（t为参数）．（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12CC，．写出12CC，高三理科专用4的参数方程．1C与2C公共点的个数和C21C与公共点的个数是否相同？说明你的理由．分析：从参数方程来看曲线C1为圆，曲线C2为直线，也可以通过消参数，求得曲线的普通方程判断。并由参数方程进行图象的变换，得到曲线12CC，，再将其方程化为普通方程解方程组判断其交点的个数。解：（Ⅰ）1C是圆，2C是直线．1C的普通方程为221xy，圆心1(00)C，，半径1r．2C的普通方程为20xy．因为圆心1C到直线20xy的距离为1，所以2C与1C只有一个公共点．（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C：cos1sin2xy，（为参数）；2C：22224xtyt，（t为参数）．化为普通方程为：1C：2241xy，2C：1222yx，联立消元得222210xx，其判别式2(22)4210，所以压缩后的直线2C与椭圆1C仍然只有一个公共点，和1C与2C公共点个数相同．评注：本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。例2．（2007年广东省深圳市）若直线bxy与曲线sincosyx(为参数，且)22有两个不同的交点，则实数b的取值范围是__________．分析：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。解：曲线sincosyx(为参数，且)22表示的以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线bxy与曲线有两个不同的交点,直线应介于两直线之间则(2,1]b高三理科专用5答案：]1,2(评注：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答.例3．（2007年广东，理13）在平面直角坐标系xＯy中，直线L的参数方程为t3y3tx－＝＋＝，（参数Rt），圆Ｃ的参数方程为2sin2ycos2x＋＝＝（参数20，），则圆Ｃ的圆心坐标为，圆心到直线L的距离为。分析：把参数方程转化为普通方程,并由点到直线的距离公式求解.解：消去2sin2ycos2x＋＝＝的参数，得2224xy；消去t3y3tx－＝＋＝的参数t，得x＋y＝6，所以圆Ｃ的圆心坐标是（0，2）。圆心到直线L的距离是11620＝22，或直线的方程为x+y-6=0，圆心到直线L的距离是d=|26|222。答案：（0，2）；22评注：对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化.例4．（2008江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求Sxy的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之。解：因椭圆2213xy的参数方程为3cos(sinxy为参数），故可设动点P的坐标为(3cos,sin），其中02.因此313cossin2(cossin)2sin()223Sxy所以，当6时，S取最大值2。评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次。高三理科专用62．极坐标方程与参数方程混合例5．（2008南通四县市）已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：21222xtyt，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答。解：曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为2240xyx，即2224xy，直线l的参数方程21222xtyt，化为普通方程为x－y－1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为1222，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长1242=14．评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出。例6．（2008宁夏银川一中）已知椭圆C的极坐标方程为222sin4cos312，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为tytx22222(t为参数，t∈R)．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求距离。解:(Ⅰ)直线l普通方程为2yx；曲线C的普通方程为22143xy(Ⅱ)∵1(1,0)F,2(1,0)F，∴点1F到直线l的距离110232,22d高三理科专用7点2F到直线l的距离21022,22d∴1222.dd评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程。极坐标方程化为普通方程时可由公式cossinxy进行转化，即同乘右