安徽省铜陵十五中2015届高考数学模拟试卷(少年班)

安徽省铜陵十五中2015届高考数学模拟试卷（少年班）一、填空题（共9小题，每小题0分，满分0分）1．已知实数x，y满足；﹣=3，y4+y2=3，则的值为．2．设a=，b是a2的小数部分，则（b+2）3是．3．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．4．已知x，x都为整数，且满足（+）（+）=﹣（﹣），则x+y的可能值有个．5．已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC，∠BPC=108°．D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果P为△ABE的内心，则∠PAC的度数是．6．如图，在△ABCAB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．7．将1、2、3、4、5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有．8．对任意实数x、y、z定义运算“*”：x*y=；且x*y*z=（x*y）*z，则：2013*2012*…*3*2的值为．9．已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2=0，3a2﹣8b+c=0，则abc的最大值为．二、解答题（共3小题，满分0分）10．在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．11．设a，b，c是素数，记x=b+c﹣a，y=c+a﹣b，z=a+b﹣c，当z2=y，﹣=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．12．如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6．（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PH⊥DE于H，设DP为x，四边形AEHP的面积为y，试求y与x的函数解析式；（2）若AE=2EB．①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；②半径为4，圆心在直线DF上，且与矩形ABCD的至少一边所在直线相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可）安徽省铜陵十五中2015届高考数学模拟试卷（少年班）参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题0分，满分0分）1．已知实数x，y满足；﹣=3，y4+y2=3，则的值为．考点：函数的零点与方程根的关系；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出x2，y2的值，代入求解即可．解答：解：﹣=3，可得3x4+2x2﹣4=0，解得x2=，y4+y2=3，解得：y2=，====故答案为：．点评：本题考查有理指数幂的运算，函数的零点与方程的根的关系，基本知识的考查．2．设a=，b是a2的小数部分，则（b+2）3是9．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知，表示出b的值，即可得出结论．解答：解：∵a=，b是a2的小数部分，∴b=（）2﹣2，∴（b+2）3=32=9故答案为：9点评：此题主要考查了估算无理数，表示出b的值是解题关键．3．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为2．考点：轨迹方程．专题：综合题．分析：设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，由三角形相似结合E为MN的中点，S为KH的中点可得A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点得B，F，S共线，再由三角形相似得到ES∥PF，PE∥FS，结合G为EF的中点可得G为PS的中点，即G的轨迹为△CSD的中位线，由三角形的中位线长是底边的一半得答案．解答：解：如图，设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，∵E为MN的中点，S为KH的中点，∴A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点，∴BFS共线，由△AME∽△PQF，得∠SAP=∠FPB，∴ES∥PF，△PNE∽△BRF，得∠EPA=∠FBP，∴PE∥FS，则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，∴G的轨迹为△CSD的中位线，∵CD=AB﹣AC﹣BD=6﹣1﹣1=4，∴点G移动的路径长为．故答案为：2．点评：本题考查了轨迹方程，考查了三角形的中位线知识，考查了三角形相似及动点的轨迹，是中档题．4．已知x，x都为整数，且满足（+）（+）=﹣（﹣），则x+y的可能值有3个．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：由=，（+）（+）=﹣（﹣），化为=，即=0，可得=0，或=．即可得出．解答：解：∵=，（+）（+）=﹣（﹣），又∵，∴=，化为=0，∴=0，或=．由=0，可得x+y=0，（x•y≠0）；由=，化为，∴x+y==，只有当y=1或2时，x分别为﹣2，﹣1．∴x+y=﹣1或1，综上可得：x+y=﹣1或1或0．故答案为：3．点评：本题考查了因式分解方法、乘法公式、整数的性质，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC，∠BPC=108°．D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果P为△ABE的内心，则∠PAC的度数是48°．．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：先画图，由对顶角，三角形全等可得∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，即可求∠PCA，∠PBE，∠ABD，∠BAD，∠PAE的值，由∠PAC=∠PAE+∠CAE即可得解．解答：解：由题意可得：∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED，而∠PEA+∠PEB+AED=180°，所以∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，所以可得∠PCA=30°，又∠BPC=108°，所以∠PBE=12°，从而∠ABD=24°，所以∠BAD=90°﹣24°=66°，所以∠PAE=（∠BAD﹣∠CAE）=（66°﹣30°）=18°，所以∠PAC=∠PAE+∠CAE=18°+30°=48°．故答案为：48°．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，三角形内心，三角形内角和等知识的应用，考查了分析问题解决问题的能力，考查了转化思想，属于中档题．6．如图，在△ABCAB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为9．考点：相似三角形的判定．专题：计算题．分析：利用角平分线定理、中点性质及其平行线分线段成比例定理即可得出．解答：解：如图所示，∵AD是∠BAC的平分线，∴，∵点M是BC的中点，∴，解得．∵MF∥AD，∴．∵CF+FA=11，∴CF=9．点评：熟练掌握角平分线定理、中点性质及其平行线分线段成比例定理是解题的关键．7．将1、2、3、4、5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有5．考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：根据题意设一个满足要求的数列a1，a2，a3，a4，a5，然后分情况讨论题目中的要求．解答：解：设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai+1是奇数，则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．故答案为：5．点评：本题考查了整数的奇偶性问题，解决此题的关键是分情况讨论．找出a1，a2，a3，a4，a5只能是偶，奇，奇，偶，奇时才满足条件．8．对任意实数x、y、z定义运算“*”：x*y=；且x*y*z=（x*y）*z，则：2013*2012*…*3*2的值为．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：设2013*2012*…*4=m，则*3=m*3，由x*y的计算公式推导出m*3=9，从而*2=9*2，再由由x*y的计算公式能求出2013*2012*…*3*2的值．解答：解：∵x*y=，且x*y*z=（x*y）*z，∴设2013*2012*…*4=m，则*3=m*3==9，∴*2=9*2==．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．9．已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2=0，3a2﹣8b+c=0，则abc的最大值为2013．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：3a2﹣8b+c=0，可得c=8b﹣3a2，代入a+b2﹣2c﹣2=0，可得（b﹣8）2=66﹣6a2﹣a，因此66﹣6a2﹣a为完全平方数，可得a，进而得出b，c．解答：解：3a2﹣8b+c=0⇒c=8b﹣3a2，代入a+b2﹣2c﹣2=0，可得（b﹣8）2=66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a为完全平方数，则a=3，可得b=5或11，c=13或61，∴abc的最大值为3×11×61=2013．故答案为：2013．点评：本题考查了乘法公式与完全平方数、整数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（共3小题，满分0分）10．在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先求出A，B两点的坐标，然后表示出△OAB的面积，令其等于|OA|+|OB|+3即可用b表示k；（2）化简所求式子后根据配方法即可求出△OAB面积的最小值解答：解：（1）令x=0，得y=b，b＞0；令y=0，得x=﹣＞0，k＜0．所以A，B两点的坐标分别为A（﹣，0），B（0，b），于是，△OAB的面积为S=b（﹣）．由题意，有=+b+3，解得k=，b＞2；（2）b＞2，由（1）知S=•b（﹣）===（b﹣2）+7≥7，当且仅当b﹣2=时，有S=7，即当b=2，k=﹣1时，不等式中的等号成立．所以，△OAB面积的最小值为7．点评：本题考查了二次函数的最值及三角形的面积，难度一般，关键是根据已知条件求出用b表示k后由配方法即可得出答案．11．设a，b，c是素数，记x=b+c﹣a，y=c+a﹣b，z=a+b﹣c，当z2=y，﹣=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．考点：素数与合数．专题：综合题；推理和证明．分析：首先根据题意用含有x，y，z的代数式表示出a，b，c，再根据y=z2，得到a=，根据z为整数，a为素数求出z和a的值，进而求出b和c的值，最后判断a，b，c能否构成三角形的边长．解答：解：不能．依题意，得a=（y+z），b=（x+z），c=（x+y）．因为y=z2，所以a=（y+z）=（z2+z）=．又由于z为整数，a为素数，所以z=2或﹣3，a=3．当z=2时，y=z2=4，x=（+2）2=16．进而，b=9，c=10，与b，c是素数矛盾；当z=﹣3时，a+b﹣c＜0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．点评：本题主要考查了质数与合数的知识，解答本题的关键根据a为素数求出z的值，进而求出a的值．12．如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6．（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PH⊥DE于H，设DP为x，四边形AEHP的面积为y，试求y与x的函数解析式；（