安陆一中14-15学年度高二数学寒假作业(三)(选修2-1部分)

安陆一中14-15学年度高二数学寒假作业（三）（选修2-1部分）姓名：班级编号：分数：一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R),则x，y全为0；命题q：若ab，则1a1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是()．A．1B．2C．3D．42．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若直线l的方向向量为b,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是()．A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)4．已知a＝(cosα,1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()．A．90°B．60°C．30°D．0°5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于()．A．10B．8C．6D．46．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()．A.63B.255C.155D.1057．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()．A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x8．三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则AB→·CD→等于()．A．－2B．2C．－23D．239．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()．A.3B．2C.5D.610．双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x2m2＋y2b2＝1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是()．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答题卡题号12345678910答案二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．11．已知命题p：∀x∈R(x≠0)，x＋x1≥2，则┒p：________．12．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是___________．13．给出下列结论：①若命题p:∃x∈R,tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋10，则命题“p∧┒q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．15．若A(0，2，198)，B(1，－1，58)，C(－2，1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．三、解答题(本大题6小题，共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)已知命题p：方程x22m＋y29－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25－x2m＝1的离心率e∈(62，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．17．(12分)已知两点M(－2,0)、N(2，0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN→||MP→|＋MN→·NP→＝0,求动点P(x，y)的轨迹方程．18．(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．(1)求a的取值范围；(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．19．(12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝12AD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明平面AMD⊥平面CDE；(2)求二面角A­CD­E的余弦值．20．(13分)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．21．(14分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ABC＝90°,BC＝2,CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．安陆一中14-15学年度高二数学寒假作业（三）参考答案（选修2-1部分）一、选择题：BADABDBACC二、填空题：11．∃x∈R(x≠0)，x＋1x212.x23－y212＝113．①③14．915．2∶3∶(－4)三、解答题16．解若p真，则有9－m2m0，即0m3.若q真，则有m0，且e2＝1＋b2a2＝1＋m5∈(32，2)，即52m5.若p、q中有且只有一个为真命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0m3，且m≥5或m≤52，即0m≤52；②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且52m5，即3≤m5.故所求范围为：0m≤52或3≤m5.17．解设P(x，y)，则MN→＝(4，0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)．∴|MN→|＝4，|MP→|＝（x＋2）2＋y2MN→·NP→＝4(x－2)，代入|MN→|·|MP→|＋MN→·NP→＝0，得4（x＋2）2＋y2＋4(x－2)＝0，即（x＋2）2＋y2＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.18．解(1)由y＝ax＋1，3x2－y2＝1消去y，得(3－a2)x2－2ax－2＝0.依题意得3－a2≠0，Δ0，即－6a6且a≠±3.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.∴(a2＋1)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0，∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a＝±1.19．解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，M(12，1，12)．(1)BF→＝(－1，0，1)，DE→＝(0，－1，1)，于是cos〈BF→，DE→〉＝BF→·DE→|BF→||DE→|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明由AM→＝(12，1，12)，CE→＝(－1，0，1)，AD→＝(0，2，0)，可得CE→·AM→＝0，CE→·AD→＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则u·CE→＝0，u·DE→＝0.于是－x＋z＝0，－y＋z＝0.令x＝1，可得u＝(1，1，1)．又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)．所以，cos〈u，v〉＝u·v|u||v|＝0＋0＋13×1＝33.因为二面角A­CD­E为锐角，所以其余弦值为33.20．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，∴||CF1|－|CF||＝4.∵|F1F|＝254，∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝（355－5）2＋（455－0）2＝2.直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.此时y＝－255.∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为21．(1)证明如图所示，建立空间直角坐标系，设A1(a，0，0)，则C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(a2，1，0)．∴B1D→＝(0，2，2)，AB→＝(－a，0，0)，BD→＝(0，2，－2)，∴B1D→·AB→＝0＋0＋0＝0，B1D→·BD→＝0＋4－4＝0.∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD.(2)证明∵AB→＝(－a，0，0)，BD→＝(0，2，－2)，GF→＝(－a2，0，0)，EF→＝(0，1，－1)，∴GF→∥AB→，EF→∥BD→，∴GF∥AB，EF∥BD.又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.(3)解由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离由(1)(2)知平面EGF的法向量为B1D→＝(0，2，2)，又ED→＝(0，2，1)，∴所求距离d＝|ED→·B1D→||B1D→|＝322.