定积分学案

§1.5定积分的概念学习目标1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义；4．无限细分和无穷累积的思维方法.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：函数23(sin)yx的导数是复习2：若函数2log(23)ayxx的增区间是(,1)，则a的取值范围是二、新课导学学习探究探究任务一：曲边梯形的面积问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把直线xa，xb()ab，0y和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？研究特例：对于1x，0y，2yx围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程分割近似代替求和取极限2.定积分的定义：1()lim()nbianibafxdxfn3.定积分的几何意义：4.定积分的性质：（1）()()bbaakfxdxkfxdx（k为常数）（2）1212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（3）()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx（其中acb）试试：求直线0,2,0xxy与曲线2yx所围成的曲边梯形的面积.反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）典型例题例1利用定积分的定义，计算130xdx的值变式：计算230xdx的值，并从几何上解释这个值表示什么？例2计算定积分120(2)xxdx变式：计算定积分21(1)xdx动手试试练1.计算130xdx，并从几何上解释这些值分别表示什么练2.计算031xdx，并从几何上解释这些值分别表示什么.三、总结提升学习小结1.求曲边梯形的面积；2.会计算定积分.知识拓展定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题的结果，表示成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力，也再一次表明了数学的威力.学习评价当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.设()fx在[,]ab上连续，且(())()FxCfx，（C为常数），则0()()limxFxxFxx（）A．()FxB．()fxC．0D．()fx2.设()fx在[,]ab上连续，则()fx在[,]ab上的平均值为（）A．()()2fafbB．()bafxdxC．1()2bafxdxD．1()bafxdxba3.设()fx是连续函数，且为偶函数，在对称区间[,]aa上的定积分()aafxdx，由定积分的几何意义和性质()aafxdx=（）A．0B．02()afxdxC．0()afxdxD．0()afxdx4.10xedx与210xedx的大小关系为5.3531(sin)2xdx=§1.6微积分基本定理学习目标1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()Fxfx的函数()Fx.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：函数33cosyxx的导数为复习2：若函数2()cos(3)3fxx，则2()9f=二、新课导学学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()sst.由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度()()vtst.设这个物体在时间段[,]ab内的位移为S，你能分别用(),()stvt表示S吗？新知：如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数，并且()()Fxfx，那么()()()bafxdxFbFa这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|baFx表示()()FbFa，即()()|()()bbaafxdxFxFbFa试试：计算120xdx反思：计算定积分()bafxdx的关键是找到满足()()Fxfx的函数()Fx.通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()Fx.典型例题例1计算下列定积分：（1）211dxx；（2）3211(2)xdxx变式：计算2204xdx小结：计算定积分()bafxdx的关键是找到满足()()Fxfx的函数()Fx.例2.计算下列定积分：0sinxdx，2sinxdx，20sinxdx.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cosdx；0cosdx；322cosdx小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.动手试试练1.计算：211()xdxx练2.计算0sinxdx三、总结提升学习小结1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式()()()bafxdxFbFa.2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.知识拓展微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果.学习评价当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.设连续函数()0fx，则当ab时，定积分()bafxdx的符号（）A．正B.当0ab时为正，当0ab时为负C．负D．以上结论都不对2.函数0cosxyxdx的一阶导数是（）A．cosxB．sinxC．cos1xD．sinx3.与定积分320|sin|xdx相等的是（）A．320|sin|xdxB．320sinxdxC．320sinsinxdxxdxD.32202sinsinxdxxdx4.21(1)xdx=5.2211dxx=课后作业1.计算定积分：（1）220(42)(4)xxdx；（2）22123xxdxx.§1.7定积分的简单应用学习目标1．理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法；2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积，会解决简单的物理问题.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？复习2：计算抛物线22yx与直线4yx所围成的图形面积.二、新课导学学习探究探究任务一：定积分在几何中的应用问题：如何求曲边图形的面积?新知：1.当()fx在[,]ab上有正有负时，则|()|baAfxdx2.平面图形是由两条曲线1()yfx，2()ygx，[,]xab及直线,xaxb所围成且()()fxgx.其面积都可以用公式[()()]baAfxgxdx求之.3.当介于两条曲线1()yfx，2()ygx，[,]xab和两条直线,yayb之间的平面图形的面积公式为：[()()]baAfxgxdx试试：求正弦曲线3sin,[0,]2yxx和直线32x及x轴所围成的平面图形的面积.反思：求定积分就是求曲边梯形的面积.典型例题例1计算由曲线2yx，2yx所围图形的面积S.变式：计算由直线4yx，曲线2yx以及x轴所围图形的面积S.小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限例2一辆汽车的速度—时间函数关系为：3,(010)()30,(1040)1.590,(4060)ttvtttt求汽车在这60秒行驶的路程.变式：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功.动手试试练1.计算由xye，ye，0x所围图形的面积.练2.一物体沿直线以23vt（t的单位：s，v的单位：/ms)的速度运动，求该物体在35s间行进的路程.三、总结提升学习小结1.会应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等.2.在解决问题的过程中，能过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解.知识拓展胡克定律：弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律Fkl计算.学习评价当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若()yfx与()ygx是[,]ab上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,xaxb所围成的平面区域的面积为（）A．[()()]bafxgxdxB．[()()]bagxfxdxC．|()()|bafxgxdxD．|()()|bafxgxdx2.已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从0t到0tt所走过的路程为（）A．2013gtB．20gtC．2012gtD．2014gt3.曲线3cos(0)2yxx与坐标轴所围图形的面积是（）A．2B．3C．52D．44.一物体在力()34Fxx（单位：N）的作用下，沿着与力相同的方向从0x处运动到4x处（单位：）则力()Fx所作的功为5.弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律Fkl计算.如果10N的力能使弹簧压缩1cm，那么把弹簧从平衡位置压缩10cm（在弹性限度内）做功为课后作业1.求下列曲线所围成图形的面积：（1）3cos,,,022yxxxy;（2）29,7yxyx.