定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[,]ab上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]ab上的定积分：()()()baRbRaRxdx（1）()()()baCbCaCxdx（2）()()()baLbLaLxdx（3）例1已知某商品边际收入为0.0825x（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入()Rx，总成本C()x，利润()Ix的改变量（增量）。解首先求边际利润()()()0.082550.0820LxRxCxxx所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()RRRxdx300250(0.0825)xdx=150万元300300250250(300)(250)()CCCxdxdx=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)LLLxdxxdx=100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()ft，则称2121()ttftdttt为该经济函数在时间间隔21[,]tt内的平均变化率。例2某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：()0.080.015rtt求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。解由于2200()(0.080.015)rtdttdt200.160.010.160.022tt所以开始2年的平均利息率为20()0.080.01220rtdtr0.094例3某公司运行t（年）所获利润为()Lt（元）利润的年变化率为5()3101Ltt（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解由于38855852333()3101210(1)3810Ltdttdtt所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083Ltdt（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610元。三、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t（年）时的收入为()ft（万元），年利率为r，即贴现率是()rtfte，则应用定积分计算，该项目在时间区间[,]ab上总贴现值的增量为()brtaftendt。设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式0TrtaedtA成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解这里1000A，200a，0.08r，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为0.080.080.08002002002500(1)0.08TttTTedtee令0.082500(1)Te=1000，即得该工程回收期为110001ln(1)ln0.60.0825000.08T=6.39（年）