运用数形结合思想求解二次函数利润问题

运用数形结合思想求解二次函数利润问题数学符号，包含了约定符号、缩写符号及象形符号三种.不同符号可以依照数学所具有的规则以及逻辑含义进行组件，可以形成相应的式子或者符号串，从而产生数学句子或数学式的语言内容.而这里的“形”，也不仅是数学中常见的几何图形，还有表格、代数中的数轴、函数图象、概率中的树状图等等一些图标形式.这些都是数学形象思维的中介内容和载体内容，也是数学思维之中的结果以及重要的材料内容.同时，还能够作为一种运用工具，进一步的展开抽象思维.那么，如何把“数”与“形”结合起来?下面，以二次函数利润问题为例加以阐述.案例1某商店购进一种单价为40元的篮球，若以单价50元出售，则每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，问当篮球售价定为多少时，每月利润最大，为多少元?这是在二次函数中出现频率较高的一道题，曾经也不止一次在公开课中听过不同版本的讲解.能不能把这道实际中较抽象的问题形象化、具体化，让学生更快、更准的掌握这道题?笔者想到了数形结合思想.可以进行如下的设计:(1)假设你是店主，你怎样理解“售价每提高1元，销售量相应减少10个”?抓住题目中较关键的“文字语言”，深刻理解较关键的“文字语言”，把这些“文字语言”与实际生活联系起来，使这些抽象的“文字语言”生活化，形象化.其中“↑”代表提高、涨价;“↓”代表减少、降价，在这里笔者设计了以上图表，用最简单的数字规律，让学生直观的看到销售量与售价涨幅之间的关系.教学中发现学生很容易得到20个，30个，40个，但20个，30个，40个并不是我们想要的，笔者填入的是10×2，10×3，10×4，强调销售量与售价涨幅之间的倍数关系，把题目中的“售价每提高1元，销售量相应减少10个”这句数字语言转化为图表形式.设计意图让学生从实际出发，从简单的数出发，用图表形式直观的观察得出，销售量与售价涨幅之间的数量关系.(体现从“数”到“形”)(2)假设销售单价提高x元.从数字出发，引入变量x，学生很容易由表1通过类比法得出销售量与售价涨幅x之间的数量关系.这样仅仅找出了销售量与单价涨幅x之间的数量关系，还不完整.↑x元↓10x个(在上表中补充)故销售量是在原来数量的基础上，减少10x个，即本题中(50010)x.(完成从“形”到“数”)笔者又设计了以下图表，把整个一道题都用图表呈现出来，同学们戏称为“井字格”.每个利润数量原来现在上表对于此类二次函数利润问题可以通用，“每个利润”有可能是卖水果时每千克利润，买衣服时每件利润等等;“数量”可能是销售量及其他数量个数关系;“原来”指涨(降)价前的商品有关量;“现在”指涨(降)后的商品有关量.学生只要会填写此表，这类利润问题不在话下.上述“井字格”表是解决二次函数利润问题的“万能钥匙”.就此题而言，每个利润书写时强调(5040)元，涨价是在50元基础上涨x元，故售价为(50x）元，所得每个利润为(50)x[40]元;销售量:原来500个，涨价后减少了10x个，故为(50010)x个。其中(5040)元，(50)x[40]元，强调解题中所体现的过程信息量.比直接书写10元，10x元，对于学生接受、理解更好一些.每个利润数量原来5040500现在(50)40x50010x其中，学生最难得到的是(50010)x这个部分.(又一次从“数”到“形”)而篮球总利润用y表示，则(50)(50010)yxx[40](从“形”到“数”)2104005000xx210(20)9000x(顶点式)，∴当20x时，y最大值为9000元，至此，这道题就做完了.但是作为教师知道，此时直接用顶点坐标求最值欠妥当.我们知道，二次函数在很多情况下，最大值并不能取到顶点处，这与函数的自变量x的取值范围有关.为了进一步说明问题，笔者又设计了问题(3)、(4)，使利润最值问题更具体化.(3)假设物价部门规定，篮球售价不得高于每个65元，求当篮球售价定为多少元时，每月利润最大?(4)当每月利润不低于8840元时，求出篮球售价的取值范围.问题(3)，对篮球售价作出了限制;问题(4)对每月利润y作出限制.如何解决不高于、不低于的问题?我们想到了二次函数的图象，能否把上述的数学语言反映在图象上?向题(3)，售价不得高于65元，即5065x，仅有此式不行，必须保证同时有利润、有销售量.506550400500100xxx解得到015x.转化到图象上，满足条件的部分仅仅是015x抛物线上一部分(这里需要学生熟练地画出二次函数的大致图象，这在前面二次函数图象性质的学习中需要强化训练)，如图1.观察图象学生很直观地可发现，此时顶点坐标已不再是最大值，而当15x，y有最大值.这是观察图象得出的，从而完成了由“形”到“数”的过程.问题(4)，当利润不低于8840元时，y轴表示利润(在函数中寻求不等关系时，通常是从相等关系给出的).不妨取8840y，找出对应的x取值，把8840这个数表示在图象这个“形”上，如图2.当8840y时，210(20)90008840x，解得1224,16xx.在图象上找出点(16,8840)，(24,8840)，而利润不低于8840元，对应的是抛物线在直线8840y上方的部分，即x的取值在1624x内，故定价在66～74元之间.设计意图在问题(3)、(4)中，注重培养学生如何把“数”转化成函数图象，通过研究函数图象的“形”，再转化成数学符号.让学生充分感受“数”骨“形”不停转化的过程，体会数的抽象与形的具体.案例2某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品，投放市场进行试销.经过调查，发现每天销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一定的函数关系:(1)试求出y与x之间的函数关系式;(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品，每天可获得的利润w最大，最大利润是多少?(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销工艺品每天获得利润、最大?此题较案例1简单.首先我们需要从题目中所给图表出发，在平面直角坐标系中，把表3中,xy的各组对应值作为点的坐标，描出相应的点，根据点的分布特征，构建所对应的函数模型，并根据函数模型，得出函数关系，从而求出函数关系式.这一系列过程中，把“图表”的“形”先转化成函数图象的“形”，再由函数图象的“形”转化成函数关系式的“数”，完成由“形”到“数”的一个过程.根据给出的图表，描点作图，可得图3.得出y与x之间满足一次函数关系，从而可从给出的图表中任取,xy两组值，用待定系数法，求出y与x之间的关系式10800(20)yxx.对于问题(2)，要求每天获得的利润w，而利润=销售总价成本总价.在教学中发现，学生更易掌握和理解的是利润=(每件售价每件成本)销售量，即利润=每件利润销售量.其中销售单价x元/件，题中已给出，成本件为20元/件，故易得每件利润(20)x元/件，∴(20)wxy(20)(10800)xx210100016000xx210(50)9000x(顶点式)这时，需要借助于二次函数的大致图象解决问题.根据实际生活经验，我们知道利润w对应图象并不是整个抛物线，需满足20108000xx.即销售单价不能低于成本，并且销售量也不可能为负值，从而求出2080x，得出x的取值范围，对抛物线进行截取.从而又一次把函数关系式的“数”转化成图象的“形”.对于问题(2)、(3)取利润最值可参照案例1的问题(3)、(4)，在此不赘述.从单纯的二次函数利润最值到附加条件的利润最值问题，从简单的数字、数量关系转化为图表、图象，再从图表、图象直观的研究、观察，得出数学语言，我们一次又一次的完成了从数到形，从形到数的过程，体会了数学的转化思想.