2018年苏州中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案

2018年苏州中考数学专题辅导第三讲几何证明与计算题选讲真题再现：1．（2008年苏州•本题6分)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO．2．(2008年苏州•本题8分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．(1)梯形ABCD的面积等于；(2)当PQ//AB时，P点离开D点的时间等于秒；(3)当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间?3．（2009年江苏•本题满分10分）如图，在梯形ABCD中，ADBCABDEAFDC∥，∥，∥，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当ABDC时，求证：ABCD是矩形．4．（2009年江苏•本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABCABAC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF△（如图②）．小明认为AEF△是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．ADCFEBACDB图①ACDB图②FE5．(2010年苏州•本题6分)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D=50°，求∠B的度数．6．(2010年苏州•本题8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．(1)在△ABC中，AB=；(2)当x=时，矩形PMCN的周长是14；(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．7．（2011年苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．8．（2011年苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：3，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．EDDCFBA图③EDCABFGCDADECBFG图④图⑤9．(2012年苏州•本题6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC．(1)求证：△ABE≌CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．10．(2012年苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC)为30°，BC⊥AC．现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米；(2)—座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG丄CG,问建筑物GH高为多少米？11．（7分）（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）12．（8分）（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．13．（6分）（2014年•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD．求∠BDC的度数．14．（8分）（2015年•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50，求DE、DF的长度之和（结果保留）．15．（2016年苏州•8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．16.（2017年苏州•本题8分）如图，，，点D在C边上，12，和D相交于点．（1）求证：C≌D；（第14题）FEDCBA（2）若142，求D的度数．模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分8分)如图，在RtABC中，90C，斜边AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点D、E，过点A作//AFBC，交MN于点F.(1)求证:四边形ADBF是菱形;(2)若4,8ACBC，求菱形ADBF的周长。2．(2018年蔡老师预测•本题满分8分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A．C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：AE=BD；（2）试判断直线AE与BD的位置关系，并证明你的结论．3．(2018年蔡老师预测•8分)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝35，求AB的长．D是BC边上一4．(2017年张家港•本题满分8分)如图，ABCV中，点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连接BF.(1)求证:AEFDECVV;(2)若ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.5．(2018年蔡老师预测•本题满分8分)如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H四点不共线．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）当AC=BD时，求证：四边形EFGH为菱形．6．(2017年太仓市•本题满分6分)如图，在ABCD中，4AC，D为BC边上的一点，CD=2，且ADC与ABD的面积比为1:3．(1)求证：ADC∽BAC；(2)当8AB时，求AD的长度．7．(2017年相城区•本题满分8分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CABACB，过点B作BEAB交AC于点E.(1)求证:ACBD；(2)若14AB，7cos8CAB，求线段OE的长.8．(2017年吴中区•本题满分8分)如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE,CE平分BCD，CDCE。(1)求证：ACDBCEVV；(2)若53D，求B的度数。9．(2017年高新区•本题满分6分)(本题满分6分)如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于点H．(1)若E是BC的中点，求证：DE＝CF；(2)若∠CDE＝30°，求HGGF的值．CDBAHEGFCDBA10．(2017年工业园区•本题8分)如图，已知四边形ABCD中，//ADBC，ABAD.(1)用尺规作BAD的平分线AE，AE与BC相交于点E(保留作图痕迹，不写作法);(2)求证:四边形ABED是菱形;(3)若90BC，18BC，12CD求菱形ABED的面积.11．(2017年昆山市•本题满分5分)如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．12．(2017年立达•本题8分)如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长．13．(2017年园区星港学校•本题满分8分)如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB＝BC,且AE⊥BC.（1）求证：AD＝AE；（2）若AD＝8，DC＝4，求AB的长.14．（2017年园区星港学校•本题8分）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这（第24题）BACDE棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）15．（2017年平江中学•本题8分）在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积．参考答案真题再现：1．2．解：（1）36；（2）分别延长BA和CD，交于点N，则NA：NB=AD：BC，即=NA=5，则ND=NA=5．设用了x秒PQ∥AB，则DP=x，PC=5﹣x，CQ=2x．PC：CN=CQ：CB，，x=．即当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于秒；（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况：①当PQ⊥BC时，设P点离开D点x秒，作DE⊥BC于E，∴PQ∥DE．∴，，∴，∴当PQ⊥BC时，P点离开D点秒．②当QP⊥CD时，设P点离开D点x秒∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C．∴△QPC∽△DEC，∴，∴，∴当QP⊥CD时，点P离开点D秒．由①②知，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开点D秒或秒．【点评】本题涉及线段比以及要靠辅助线的帮助才能求解，有一定难度，需认真分析．3．（1）解：AD=BC．理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．∴AD=BE，AD=FC，又∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF．∴AD=BE=EF=FC．∴AD=BC．（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC．∵AB=DC，∴DE=AF．又∵四边形AEF