实变函数论试题及答案

实变函数论测试题1、证明1lim=nmnnmnAA。证明：设limnnxA，则N，使一切nN，nxA，所以1nmmAx1nnmmA,则可知nnAlim1nnmmA。设1nnmmAx，则有n,使nmmAx，所以nnAxlim。因此，nnAlim=1nnmmA。2、设222,1Exyxy。求2E在2R内的'2E，02E，2E。解：222,1Exyxy，222,1Exyxy，222,1Exyxy。3、若nRE，对0，存在开集G,使得GE且满足*()mGE，证明E是可测集。证明：对任何正整数n，由条件存在开集EGn，使得1*mGEn。令1nnGG,则G是可测集，又因1**nmGEmGEn，对一切正整数n成立，因而)(EGm=0，即EGM是一零测度集，故可测。由)(EGGE知E可测。证毕。4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E，12mE。解：在[0,1]中去掉一个长度为16的开区间57(,)1212，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为1163的两个开区间，以此类推，一般进行到第n次时，一共去掉12n个各自长度为11163n的开区间，剩下的n2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11112121663632nn。所以最后所得集合的测度为11122mE，即12mE。5、设在E上()()nfxfx，且1()()nnfxfx几乎处处成立，,3,2,1n,则有{()}nfxa.e.收敛于)(xf。证明因为()()nfxfx，则存在{}{}innff，使()infx在E上a.e.收敛到()fx。设0E是()infx不收敛到()fx的点集。1[]nnnEEff，则00,0nmEmE。因此00()0nnnnmEmE。在1nnEE上，()infx收敛到()fx，且()nfx是单调的。因此()nfx收敛到()fx（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1nnE外，()nfx收敛于()fx，就是()nfxa.e.收敛到()fx。6、设1RE,xf是E上..ea有限的可测函数。证明存在定义于1R上的一列连续函数)}({xgn，使得)()(limxfxgnn..ea于E。证明：因为)(xf在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数n,存在E的可测子集nE，使得1nmEEn，同时存在定义在1R上的连续函数)(xgn，使得当nEx时有)(xgn=)(xf。所以对任意的0，成立nnEEgfE][，由此可得1nnmEfgmEEn。因此0][limnngfmE，即)()(xfxgn，由黎斯定理存在xgn的子列xgkn，使得)()(limxfxgknka.e于E.证毕。7、设,mEnf为a.e有限可测函数列，证明：()lim01()nEnnfxdxfx的充要条件是()0nfx。证明：若)(xfn0，由于1nnnfEEff,则01nnff。又()011()nnfxfx，3,2,1n,mE,常函数1在E上可积分，由勒贝格控制收敛定理得00)(1)(limEEnnndxdxxfxf。反之，若0)(1)(dxxfxfEnn（n），而且0)(1)(xfxfnn，对0，令nneEf,由于函数xxy1,当1x时是严格增加函数，因此0)(1)()(1)(1dxxfxfdxxfxfmeEnnennnn。所以0limnnfE，即0(x)nf。8、试求21211()(1)nnxRdxx。解令22(),[1,1](1)nnxfxxx，则()nfx为非负连续函数，从而非负可积。根据L积分逐项积分定理，于是，221221[1,1]1122[1,1]1[1,1]()()(1)(1)()(1)()12nnnnnnxxRdxLdxxxxLdxxLdx。。9、设mE，a.e.有限的可测函数列()nfx和()ngx，,3,2,1n，分别依测度收敛于)(xf和)(xg，证明()()()()nnfxgxfxgx。证明：因为nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx于是0，成立[|()()|][||][||]22nnnnEfgfgEffEgg，所以[|()()|][||][||]22nnnnmEfgfgmEffmEgglim[|()()|]lim[||]lim[||]022nnnnnnnmEfgfgmEffmEgg即nngfgf10、试从,10,11132xxxxx求证111ln21234。证明：在[0,1]x时，10,1,2,3,nnxxn，由L逐项积分定理，221221[0,1][0,1]001221000()()()1121221111234nnnnnnnnnnLxxdxLxxdxRxxdxnn另一方面1[0,1]011()()211LdxRdxlnxx因此可得：111ln21234。