实数大小的比较

1、作差判断两个实数大小的充要条件：对于任意两个实数a、b，abab0；由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了.a=bab=0；abab0；判断其大小的充要条件是：例1.比较(a+3)(a5)与(a+2)(a4)的大小.分析:此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以通过作差．变形．判断差值正负来得出结论.从而把比较两个实数大小的问题转化为实数的运算符号问题．例题讲解解:∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a2-2a-15-(a2-2a-8)=-70∴(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)解:∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a2-2a-15-(a2-2a-8)=-70∴(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)例2.比较(3x-2)(x+1)与(2x+5)(x1)的大小.分析:(1)作差．合并同类项：(3x-2)(x+1)-(2x+5)(x1)=(3x2+x-2)-(2x2+3x-5)=x2-2x+3(2)变形．比较大小:x2-2x+3=(x1)2+2＞0.(3)得出结论:(3x-2)(x+1)＞(2x+5)(x1).例3.已知a0、b0，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.分析:(1)作差、变形:a3+b3-a2b-ab2=(a3-a2b)-(ab2-b3)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b)(2)判断差值正负:∵(a-b)2≥0a+b＞0∴(a-b)2(a+b)≥0(3)得出结论：a3+b3≥a2b+ab2点拨：例1、例2、例3是用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断的符号这样，就把两个数或代数式的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要．变形结果①常数(直接判断)②一元二次式（配方后判断）③若干个因式的积或商（分析各因式符号）变式训练：设x≠0，求证：(x2+1)2x4+x2+12、作商判断两个正实数大小的充要条件：1当a0，b0时.abaaa=b.ab；11bbab；=1例4.已知a0,b0,比较abba与aabb大小.解:∵a0,b0,∴ab,ba,aa,bb均大于0.当ba0时，aabb1,a-b0,故()a-b1,此时abbaaabb；baaabbabba=aa-bbb-a=aa-bb-(a-b)=()a-baabb)a-b1,当ab0时，1,a-b0,故(此时abbaaabb；a当a=b≠0时，显然abba=aabb；当a=b≠0时，当a=b≠0时，综上,对于任意a0,b0,总有abba≤aabb变式训练：2.已知ab0,比较aabb与(ab)a+b的大小.2(ab)a+b2(答案：aabb)本节研究了如何比较两个实数或代数式的大小，其具体解题步骤可归纳为：1.第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；2.第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；小结：3.第三步：得出结论．简言之就是：作差→变形→定号→结论．在某些特殊情况下,还可考虑运用作商法比较大小．它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系．1.教材P4习题1.1中第2、3题.2.作业课后思考当a0，b0时,如何用作商法判断a、b的大小已知a0,b0,用作差法比较abba与aabb大小.