实变函数试题集锦

实变函数测试题集锦一、填空题设1,2nAn,1,2n,则limnnA.,,ab,因为存在两个集合之间的一一映射为.设E是2R中函数1cos,00,0xyxx的图形上的点所组成的集合，则E，E.若集合nER满足EE,则E为集.若,是直线上开集G的一个构成区间,则,满足:,.设E使闭区间,ab中的全体无理数集,则mE.若()nmEfx()0fx,则说()nfx在E上.设nER,0nxR,若,则称0x是E的聚点.设()nfx是E上几乎处处有限的可测函数列,()fx是E上几乎处处有限的可测函数,若0,有,则称()nfx在E上依测度收敛于()fx.设()()nfxfx,xE,则()nfx的子列()jnfx,使得.11.11,1nn=.12.111,nnnnn=.13.(0,1)到(,)aab的双射是.14.E的全体聚点所组成的集合包含于E的充要条件是.15.[0,1]中无理数集的外测度为.16.nR中所有开集生成的代数记为B，称B中的集合为.17.若*0mA，则对任意的点集B，必有*()mAB.18.当E为闭区间时，*mE.19.设函数()fx在可测集E上几乎处处有限，若对任意给定的0，存在E中的一个闭集F，使(\)mEF，且()fx在F上连续，则()fx是可测集E上的.20.是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写）.21．如果则称E是自密集，如果则称E是开集，如果EE则称E是.22．设G表示为一列开集}{iG之交集：1iiGG，则G称为.23.若F表示为一列闭集}{iF之并集：1iiFF，则F称为.24.,abR(ba)，f在E上可测，则()Efa()Efb=.25.Cantor集的外测度为.26．(Fatou引理)设}{nf是可测集qRE上一列非负可测函数，则.二、判断题.正确的证明,错误的举反例.若,AB可测,AB且AB,则mAmB.设E为点集,PE,则P是E的外点.点集11,2,,En的闭集.任意多个闭集的并集是闭集.若nER,满足*mE,则E为无限集合.6.若E与它的真子集对等，则E一定是有限集．7.凡非负可测函数都是L可积的．8.设A为1R空间中一非空集，若.aA则.aA9.设E为可测集，则存在G型集F，使得EF，且0)(FEm．10.)(xf在ba,上L可积，则)(xf在ba,R可积且babadxxfRdxxfL,)()()()(三、计算证明题1.证明:ABCABAC2.设M是3R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.3.设nER,iEB且iB为可测集,1,2i.根据题意,若有*0,imBEi,证明E是可测集.设P是Cantor集,32ln1,(),0,1xxPfxxxP.求10(L)()fxdx.设函数()fx在Cantor集0P中点x上取值为3x,而在0P的余集中长为13n的构成区间上取值为16n,1,2n,求10()fxdx.求极限:13230lim(R)sin1nnxnxdxnx.7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．8.nR上全体有理数点集的外测度为零．9.设函数列}{nf在E上依测度收敛f，且hfnea.于E，则hfea.于E．10.设)(xf在ba,上可积，则0)()(lim0dxxftxfbat．11.1220lim()sin1mmxLmxdxmx.12、证明1lim=nmnnmnAA。证明：设limnnxA，则N，使一切nN，nxA，所以1nmmAx1nnmmA,则可知nnAlim1nnmmA。设1nnmmAx，则有n,使nmmAx，所以nnAxlim。因此，nnAlim=1nnmmA。13、设222,1Exyxy。求2E在2R内的'2E，02E，2E。解：222,1Exyxy，222,1Exyxy，222,1Exyxy。14、若nRE，对0，存在开集G,使得GE且满足*()mGE，证明E是可测集。证明：对任何正整数n，由条件存在开集EGn，使得1*mGEn。令1nnGG,则G是可测集，又因1**nmGEmGEn，对一切正整数n成立，因而)(EGm=0，即EGM是一零测度集，故可测。由)(EGGE知E可测。证毕。15、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E，12mE。解：在[0,1]中去掉一个长度为16的开区间57(,)1212，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为1163的两个开区间，以此类推，一般进行到第n次时，一共去掉12n个各自长度为11163n的开区间，剩下的n2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11112121663632nn。所以最后所得集合的测度为11122mE，即12mE。16、设在E上()()nfxfx，且1()()nnfxfx几乎处处成立，,3,2,1n,则有{()}nfxa.e.收敛于)(xf。证明因为()()nfxfx，则存在{}{}innff，使()infx在E上a.e.收敛到()fx。设0E是()infx不收敛到()fx的点集。1[]nnnEEff，则00,0nmEmE。因此00()0nnnnmEmE。在1nnEE上，()infx收敛到()fx，且()nfx是单调的。因此()nfx收敛到()fx（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1nnE外，()nfx收敛于()fx，就是()nfxa.e.收敛到()fx。17、设1RE,xf是E上..ea有限的可测函数。证明存在定义于1R上的一列连续函数)}({xgn，使得)()(limxfxgnn..ea于E。证明：因为)(xf在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数n,存在E的可测子集nE，使得1nmEEn，同时存在定义在1R上的连续函数)(xgn，使得当nEx时有)(xgn=)(xf。所以对任意的0，成立nnEEgfE][，由此可得1nnmEfgmEEn。因此0][limnngfmE，即)()(xfxgn，由黎斯定理存在xgn的子列xgkn，使得)()(limxfxgknka.e于E.证毕。18、设,mEnf为a.e有限可测函数列，证明：()lim01()nEnnfxdxfx的充要条件是()0nfx。证明：若)(xfn0，由于1nnnfEEff,则01nnff。又()011()nnfxfx，3,2,1n,mE,常函数1在E上可积分，由勒贝格控制收敛定理得00)(1)(limEEnnndxdxxfxf。反之，若0)(1)(dxxfxfEnn（n），而且0)(1)(xfxfnn，对0，令nneEf,由于函数xxy1,当1x时是严格增加函数，因此0)(1)()(1)(1dxxfxfdxxfxfmeEnnennnn。所以0limnnfE，即0(x)nf。19、试求21211()(1)nnxRdxx。解令22(),[1,1](1)nnxfxxx，则()nfx为非负连续函数，从而非负可积。根据L积分逐项积分定理，于是，221221[1,1]1122[1,1]1[1,1]()()(1)(1)()(1)()12nnnnnnxxRdxLdxxxxLdxxLdx。。20、设mE，a.e.有限的可测函数列()nfx和()ngx，,3,2,1n，分别依测度收敛于)(xf和)(xg，证明()()()()nnfxgxfxgx。证明：因为nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx于是0，成立[|()()|][||][||]22nnnnEfgfgEffEgg，所以[|()()|][||][||]22nnnnmEfgfgmEffmEgglim[|()()|]lim[||]lim[||]022nnnnnnnmEfgfgmEffmEgg即nngfgf21、试从,10,11132xxxxx求证111ln21234。证明：在[0,1]x时，10,1,2,3,nnxxn，由L逐项积分定理，221221[0,1][0,1]001221000()()()1121221111234nnnnnnnnnnLxxdxLxxdxRxxdxnn另一方面1[0,1]011()()211LdxRdxlnxx因此可得：111ln21234。22．121220lim()sin1nnxRnxdxnx.23.设A是一个集合，{}nA、{}nB是两个集列，证明：1()snnACB1()nnAB.24.设{}nf是[,]ab上一列几乎处处有限的可测函数，lim()()nmfxfx..ae，证明：存在一列可测集[,]nEab，1,2,n，使得1([,]\)0nnmabE，而{}nf在每个nE上一致收敛于f.25.20071sin220sinlim()1nxnnxnxRedxnx.26．limt1105ttxdxx.27.叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理.28.设RE，)(xf是E上..ea有限的可测函数，证明：存在定义在R上的一列连续函数}{ng，使得..)()(limeaxfxgnn于E.