对数教案

§2.7对数【教学目标】1、理解对数的概念.2、能进行指数式与对数式的互化.3、理解对数恒等式并能运用于有关的对数计算.4、通过转化思想这种方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力.【教学重点】1、对数的定义.2、指数式与对数式的互化.【教学难点】对数概念的理解（由于对数符号是直接引入的，有“规定”的性质，且比较抽象，不易使学生接受和理解，因此对数符号的认识及其定义的理解是教学中的难点）【教学方法】启发式、讲练结合【教学过程】一、提出问题（新课导入）假设2002年我国国内生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值是2002年时的2倍？分析：假设经过x年国内生产总值是2002年时的2倍，根据题意，有18%2xaa即1.082x上式是已知底数和幂的值，要求指数的问题.如何从1.082x中解出x来，这就是我们本节课将要学习的内容——对数问题.二、讲授新课1、对数的定义一般地，如果0,1aaa的b次幂等于N,即baN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.logbaaNNb幂值真数底数指数对数值注：1)在定义中注意底数a的取值0,1aaa;2)在baN中，0N，由此可以知道负数和零没有对数；说明：对数的定义中为什么规定0,1aaa呢？1)若0a时，则N为某些值时，b值不存在.如：22,8blog8aN时，不存在；或者b为某些值时，N值不存在（无意义）12,22abN时，无意义.2)若0a时，则N为某些值时，b值不存在(值不唯一).如：00,2blog2aN时，不存在（也可以表述为：0的多少次幂等于2？）；00,0blog0aN时，有无数多个值，值不唯一（0的任何非0次幂等于0）；3)若1a时，则N为某些值时，b值不存在(值不唯一).如：11,3blog3aN时，不存在（也可以表述为：1的多少次幂等于3？）；11,1blog1aN时，有无数多个值，值不唯一（1的任何次幂等于1）；因此在上述的对数定义中规定：0,1aaa.2、常用对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数10logN简记为lgN.例如10log5简记为lg5，10log3.5简记为lg3.5.3、自然对数在科学技术中常常使用无理数e2.71828为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的常用对数logeN简记为lnN.例如log3e简记为ln3，log10e简记为ln10.通过上面对对数的定义学习，我们可以看出指数与对数有着密切的关系.接下来，我们就重点学习指数式与对数式的互化.例1将下列指数式写成对数式：（1）45625（2）61264（3）327a（4）15.733m分析：根据对数的定义，我们只需要确定logbaaNNb中的对应量，则问题得以解决.解：（1）5log6254（2）21log664（3）3log27a（4）13log5.73m例2将下列对数式写成指数式：（1）12log164（2）2log1287（3）lg0.012（4）ln102.303分析：根据对数的定义，我们只需要确定logbaaNNb中的对应量，则问题得以解决.解：（1）41162（2）72128（3）2100.01（4）2.30310e注：1)例1和例2中，目的在于让学生熟悉对数的定义；2)处理对数与指数之间转化的运算时，应当充分利用对数的定义中logbaaNNb的关系，突破点是准确找到与关系式中对应的量.我们有了一般的指数式与对数式的转化思路和方法，然而知识总是有特殊的地方，请同学们思考：loglog1?log??aNaaaa0,1aa（给同学们自由探讨一定时间）推导：由对数的定义中logbaaNNb，可以得到01log1log10log1logaaabNaaaaaaNaNbN0,1aa注：以上三个式子可以作为公式直接使用.三、课堂练习1、把下列指数式写成对数式：（1）328（2）5232（3）1122（4）1312732、把下列对数式写成指数式：（1）3log92（2）5log1253（3）lg1002（4）lg0.000143、求下列各式的值：（1）5log25（2）21log16（3）lg1000（4）3log243对上述的3道题进行评讲，修正学生在解题中出现的错误，并强调应该注意的事项，与例题有同样的解题方法.四、知识应用的升华（转化思想）1、求下列各式中x的值：（1）271log9x（2）12log4x（3）log83x分析：本题考查方程与对数的结合应用，对对数的定义的理解，对数式与指数式的互化是解题的关键.解：（1）由logbaaNNb，得2711log2799xx32233323xxx（2）由logbaaNNb，得4121log4162xxx（3）由logbaaNNb，得3331log8382xxx1122xx2、已知log2,log3,aamn求23mna的值.分析：本题不仅考查对对数的定义的理解，对数式与指数式的互化，以及利用互化和常见的幂的运算法则解题.解：因为log2,log3,aamn有对数的定义，有2,3mnaa，进而23232323108mnmnaaa注：本题不仅是简单的对数式与指数式的互化，同时还涉及到常见的幂的运算法则的应用.五、课堂小结1、对数的定义（logbaaNNb），对数与指数互化是对数与指数运算中常用的方法；2、熟记：loglog10,log1,.aNaaaaN0,1aa3、注重转化思想的应用.