对宇宙速度推导方法的研究

对宇宙速度推导方法的研究周瑞雪（贵州师范大学物电院，贵州贵阳550001）摘要：宇宙速度有第一宇宙速度，第二宇宙速度，第三宇宙速度，第四宇宙速度，本篇文章用多种方法研究和推导了这四个宇宙速度，较系统地研究了宇宙速度的导出方法。关键词：宇宙速度抛体引力机械能中图分类号：文献标识码：TheResearchoftheDerivedMethodfortheUniverseSpeedZhouRuixueSchoolofPhysicsandElectronics,GuizhouNormalUniversitySummary:Theuniversespeedcomprisesthe1stuniversespeed,the2ndspeed,the3rduniversespeed,the4thuniversespeed.Anumberofwaysareusedinthisarticletoresearchanddeducethe4thcosmicspeed,Themoresystematicstudyisputinthederivationmethodoftheuniverse.KeyWords:TheUniverseSpeed,Projectile,Gravitation,MechanicalEnergy0引言宇宙速度是物体从地球出发，在天体的重力场中运动，四个较有代表性的初始速度的统称；第一宇宙速度（又称环绕速度）：是指抛体紧贴地球表面作圆周运动的速度(也是人造地球卫星的最小发射速度)，大小为7.9km/s；第二宇宙速度（又称逃逸速度）：是指抛体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度，大小为11.2km/s。第三宇宙速度：是指在地球上发射的抛体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度，其大小为16.7km/s。第四宇宙速度：是指在地球上发射的抛体摆脱银河系引力束缚，飞出银河系所需的最小初始速度。本文用多种方法研究宇宙速度的推导方法。1第一宇宙速度1.1方法一设地球半径为ER，质量为Em，在地面上有一质量为m的抛体，以速度v射出并且绕地球作圆周运动，则v可称为第一宇宙环绕速度。当抛体环绕地球作圆周运动时，由地球对抛出物体的引力提供抛体作圆周运动的向心力即22EEEmmvGmRREEGmvR由代换公式22EEEEmmmgGgRGmR39.86.4107.9()EkmvgRs1.2方法二仍设地球半径为ER，质量为Em，在地面上有一质量为m的抛体，以初速度1v竖直向上发射，到达距地面高度为h时，以速度v绕地球作匀速率圆周运动，把抛体与地球作为一个系统，由于只有保守内力作用在这个系统上，系统的机械能守恒。有2211122EEEEGmmGmmEmvmvRRh22122EEEEGmGmvvRhR而22EEEGmmvmRhRh（向心力万有引力）12EEEEGmGmvRRh由代换公式EEgRGm12EEERvgRRh对于地球表面附近的人造地球卫星，有17.9EEkmRhvgRs方法二中若ERh也得出方法一中的结果，说明方法一是在忽略h的条件下推出的。1.3方法三设从高山上水平抛出一个物体，要想使这个抛体不落回地面，必使物体运动轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同，即至少使物体绕地球运转的轨迹与地球表面相似，且二者为同心圆，这样物体就不会落回地面了．如图1所示为地球的部分断面，现在把物体从山顶上A点以水平速度抛射出去，如果没有地球的引力作用则1s后物体将到达B点，如图2，但由于地球的引力，物体在1s时实际到达位置C．设地球为均匀球体，其表面重力加速度为g，故由自由落体运动可知214.92BCgtm．倘若物体到达C点时距地面的高度与A点处距地面的高度相同，则物体就会沿着与地图1球同心的圆做圆周运动而不再落回地面上．图1中tABv，6370ADkm。由勾股定理有：22226262(6.3710)(6.37104.9)ADABBDv解之得抛体的速度为17.9vkms。物体抛出后不再落回地球表面，则抛体的速度必须满足17.9vkms，即是人造地球卫星的第一宇宙速度。2第二宇宙速度2.1机械能守恒法当抛体的发射速度继续增大，致使抛体与地球之间的距离增加到趋于无限远时，即r，这时可认为抛体已脱离地球引力的作用范围，抛体可成为太阳系的人造行星，在这种情况下，抛体在地球引力作用下的引力势能为零，0pE，而此时抛体的动能0kE，取0kE，抛体的能量刚好消耗完，那抛体在距地球无限远处的总机械能pkEEE0，即，在抛体从地面飞行到刚脱离地球引力作用的过程中，抛体以自己的动能克服引力而做功，从而把动能转变为引力势能，略去阻力以及其他星体作用力作的功，则机械能守恒。22102EkpEGmmEmvEER2v即是使抛体脱离地球引力范围，在地面发射时所必须具有的最小发射速度，称第二宇宙速度。进行星际航行的探测器或飞船都必须达到第二宇宙速度。312122211.210()EEEGmvgRvmsR2.2动能定理求解法将抛体视着隔离体，在抛出过程中离开地球直到脱离地球引力，因引力是保守力，引力的功与路径无关，质点从地面至无穷远处引力做的总功为EEGmmWR；动能增量为22102mv；由动能定理得：22102EEmmGmvR312122211.210EEEGmvgRvmsR.3第三宇宙速度3.1机械能守恒法研究3v把地球和抛体作为一个系统，取地面为参考系，从地球表面发射一个速度为3v的抛体，其动能为2312mv，引力势能为EEGmmR，当抛体脱离地球引力的束缚后，它相对地球的速度为v，在这个过程中只有引力做功，由机械能守恒定理有：2231122EEGmmmvmvR232EEGmvvR3.1.1计算v选取太阳为参考系，抛体距太阳的距离为sR，相对太阳的速度为sv，由相对速度公式知，抛体相对太阳的速度sv应当等于抛体相对地球的速度v与地球相对太阳的速度Ev的矢量和，即3Evvv设v与Ev方向相同，则33EEvvvvvv3.1.2计算3v以太阳为参照系，设抛体在太阳的引力作用下飞行，其引力势能为ssGmmR，动能为2312mv，sm为太阳的质量，抛体要脱离太阳引力作用，其机械能至少是：2102sssGmmmvR3322ssEEssGmGmvvvvvRR3.1.3计算地球相对太阳的速度Ev设地球绕太阳的运动轨道近似为一圆，那么由于抛体与地球的运动方向相同，且都只受太阳引力的作用，故可以认为此时抛体至太阳的距离sR，即是地球绕太阳作圆周运动的轨道半径，有下列等式：22EsEsEEsssmmvGmGmvRRR3.1.4第三宇宙速度3v的结论表示式32(21)sssEsssGmGmGmvvvRRR30111.99101.5010ssmkgRm得112.3vkms232EEGmvvR2465.98106.3710EEmkgRm1316.7vkms3.2类比法计算3v设抛体以第三宇宙速度抛出是，其动能为2312kEmv，这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能1kE和脱离太阳引力所需的动能2kE；那12kkkEEE3.2.1计算1kE由第二宇宙速度的推导可得抛体脱离地球引力所需的动能：21212kEmv3.2.2计算2kE因为地球绕太阳的公转可近似看着是圆,所以可作如下类比，由212vv知，质点环绕地球的速度乘以2便是质点脱离地球引力所需的速度；与此相类似，质点随地球环绕地球公转的速度乘以2也就应该等于质点脱离太阳引力所需的速度。已知，地球公转的速率等于29.81kms，所以质点脱离太阳引力所需的速率应该为：11229.842.2vkmskms设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的方向相同，那射出的质点在离开地球时只需要有相对于地球为111242.229.812.4vkmskmskms的速率就可以摆脱太阳系的引力，所以有22212kEmv脱离地球引力又脱离太阳引力所需的总能为：22221122mvmv3.2.3计算第三宇宙速度3v由222322111222mvmvmv得222322vvv22221132211.212.416.7vvvkmskms此即第三宇宙速度4第四宇宙速度第四宇宙速度是指在地球上发射的物体摆脱银河系引力束缚，飞出银河系所需的最小初始速度。但由于人们尚未知道银河系的准确大小与质量，因此只能粗略估算，其数值在110~120千米／秒之间。而实际上，仍然没有航天器能够达到这个速度。参考文献：[1]马文蔚.物理学[M].北京.高等教育出版社,2006.[2]漆安慎,杜婵英.力学[M].北京.高等教育出版社,2005.[3]百度百科.宇宙速度.2008[4]张大洪彭胜.第一宇宙速度的数学与物理求法[I].数理化,2008,7