导学案012函数与方程

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案班级：高三（）姓名编号011函数与方程考纲要求1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.考情分析1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交汇命题.教学过程基础梳理1.函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．2．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x.(2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)0.3．二分法对于在区间,ab上连续不断，且__________________的函数()yfx，通过不断地把函数()fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法。济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案班级：高三（）姓名编号011口诀：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布规律0＝00二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)无交点零点个数两个一个零个双基自测1.函数y＝x3－x的零点是________．1．方程23xx的实数解的个数为.2．若函数222ymxmx没有零点，则实数m的取值范围是3．对于函数2()fxxmxn，若()0,()0fafb，则函数()fx在区间(,)ab内：①一定有零点；②一定没有零点；③可能有两个零点；④至多有一个零点.其中正确的序号是___________。4．下列数值是函数()fx在区间[1,2]上的一些点的函数值：x11.3751.40651.4381.6251.8752()fx20.2600.0520.1651.9824.356由此可判断：方程()0fx的一个近似解为（精确到0.1).5．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是()济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案班级：高三（）姓名编号011典例分析考点一、函数的零点的求解【例1】求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.：考点二、判断零点的个数【例2】(2010·福建)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为()．A．3B．2C．7D．0变式1．函数f(x)＝2x＋2x－6的零点个数为()A．0B．1C．2D．3小结：考点三、判断零点所在区间【例3】根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________.x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345变2(2011·新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34小结：考点四、用二分法求方程的近似解【例4】求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案班级：高三（）姓名编号011解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－10，f(3)＝20，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.250，∴2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.43750，∴2.25x02.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f(2.375)＝－0.10940，∴2.375x02.5，再取2.375与2.5的平均数为2.4375，f(2.4375)＝0.06640.∵|2.375－2.4375|＝0.06250.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.反思：对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．归纳总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[考题范例](2011·北京高考)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－3，x＜2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．[巧妙运用]当x2时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图所示，当0k1时直线y＝k与函数f(x)图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．答案：(0,1)济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案班级：高三（）姓名编号011本节检测1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－122．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定3．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)4．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实数m的值为________．5．函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数m的取值的集合是________．6.(2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点自我反思