导数及其应用练习及答案

第1页（共9页）《导数及其应用》一、填空题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则xy为.2、0()0fx是函数fx在点0x处取极值的条件3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a,b的值是4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a=5.直线yx是曲线lnyax的一条切线，则实数a的值为6.函数sinxyx的导数为_________________7.若函数)1,1(12)(3kkxxxf在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围8.已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为9、已知函数223)(abxaxxxf在x=1处有极值为10，则f(2)等于____________.10．函数2cosyxx在区间[0,]2上的最大值是11．已知函数3()fxxax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是12.已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，0)1(f，0)()(2xxfxfx）（0x，则不等式0)(2xfx的解集是13．点P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是14.设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的条件。第2页（共9页）二、解答题15.设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0x2π，求函数f(x)的单调区间与极值．16..设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R.如果pq为真，pq为假，求a的取值范围17．已知函数cbxxaxxf44ln)((x0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x0，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值范围。第3页（共9页）18.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。19.已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm（1）求m与n的关系式；（2）求()fx的单调区间；（3）当[1,1]x，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。BCDAOP第4页（共9页）20.已知函数2(),()2ln(xfxgxaxee为自然对数的底数）（1）求()()()Fxfxgx的单调区间，若()Fx有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a，使()()fxgx与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。第5页（共9页）《导数及其应用》参考答案解答题15.[解析]f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝2sin(x＋π4)＋1(0x2π)令f′(x)＝0，即sin(x＋π4)＝－22，解之得x＝π或x＝32π.x，f′(x)以及f(x)变化情况如下表：x(0，π)π(π，32π)32π(32π，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)递增π＋2递减3π2递增∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)单调减区间为(π，32π)．f极大(x)＝f(π)＝π＋2，f极小(x)＝f(32π)＝3π2.16.解命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-∴)(xf=3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线由条件得)2(f≥0且)2(f即.048084aa∴-命题q:axxx1)1(222∵该不等式的解集为R，∴a-当p正确q不正确时,-当p不正确q正确时，a-∴a的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］17.解：（1）由题意知(1)3fc，因此3bcc，从而3b．又对()fx求导得3431()4ln4fxaxxaxbxx3(4ln4)xaxab．由题意(1)0f，因此40ab，解得12a．（2）由（I）知3()48lnfxxx（0x），令()0fx，解得1x．第6页（共9页）当01x时，()0fx，此时()fx为减函数；当1x时，()0fx，此时()fx为增函数．因此()fx的单调递减区间为(01)，，而()fx的单调递增区间为(1)，∞．（3）由（II）知，()fx在1x处取得极小值(1)3fc，此极小值也是最小值，要使2()2fxc≥（0x）恒成立，只需232cc≥．即2230cc≥，从而(23)(1)0cc≥，解得32c≥或1c≤．所以c的取值范围为3(1]2，，18.【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则10coscosAQOABAO，故10cosOB又1010OPtan，所以10101010coscosyOAOBOPtan所求函数关系式为2010sin10(0)cos4y②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以222(10)1020200OAOBxxx所求函数关系式为2220200(010)yxxxx（2）选择函数模型①，2210coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)'coscosy令'0y得1sin2046当(0,)6时'0y，y是θ的减函数；当(,)64时'0y，y是θ的增函数；所以当6时，min120102101031032y第7页（共9页）此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处。19.解：（1）2'()36(1).fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点.所以'(1)0f即36(1)0,mmn所以36nm（2）由（1）知，22'()36(1)363(1)[(1)]fxmxmxmmxxm当0m时，有211m，当x为化时，()fx与'()fx的变化如下表：x2(,1)m21m2(1,1)m1(1,)'()fx-0+0-()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减故由上表知，当0m时，()fx在2(,1)m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（3）由已知得'()3fxm，即22(1)20mxmx又0m，所以222(1)0xmxmm，即222(1)0,[1,1]xmxxmm设212()2(1)gxxxmm，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010gmmg解之得403mm又所以403m即m的取值范围为4(,0)320.解：（1）3222()()()()(0)xaxeaFxfxgxxexex①当0,()0aFx时恒成立()(0,)Fx在上是增函数，()FxF只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分②当0a时，2(()()(0)xeaxeaFxxex，若0xea，则()0,()(0,)FxFxea在上单调递减；第8页（共9页）若xea，则()0,()(,)FxFxea在上单调递增，xea当时，()Fx有极小值，也是最小值，即min()()2lnlnFxFeaaaeaaa…………6分所以当0a时，()Fx的单调递减区间为(0,)ea单调递增区间为(,)ea，最小值为lnaa，无最大值…………7分（2）方法一，若()fx与()gx的图象有且只有一个公共点，则方程()()0fxgx有且只有一解，所以函数()Fx有且只有一个零点…………8分由（1）的结论可知min()ln01Fxaaa得…………10分此时，2()()()2ln0xFxfxgxxemin()()0FxFe()()1,()()fegefxgx与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e又2()()fegee()()fxgx与的图象在点(,1)e处有共同的切线，其方程为21()yxee，即21yxe…………13分综上所述，存在a1，使()()fxgx与的图象有且只有一个公共点(,1)e，且在该点处的公切线方程为21.yxe…………14分方法二：设()fx与g(x)图象的公共点坐标为00(,)xy，根据题意得)()()()(0'0'00xfxfxgxf即200002ln22xaxexaex第9页（共9页）由②得20xae，代入①得021ln,2xxe从而1a…………10分此时由（1）可知min()()0FxFe0xxe当且时，()0,()()Fxfxgx即因此除0xe外，再没有其它0x，使00()()fxgx…………13分故存在1a，使()()fxgx与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为(,1)e，公切线方程为21yxe…………14分