导数在三次函数研究中的应用

1导数在三次函数中的应用泉州现代中学陈永生【摘要】导数是一个特殊函数，导数的概念、意义与运算；利用导数研究初等函数——图象特征（单调性、最值、函数零点、凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系），导数是分析和解决问题的有效工具。【关键词】导数函数的切线单调性极值和最值。通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。特别地，当()fx为三次函数时，通过求导得到的()fx为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点00(,)Pxy处的切线的斜率0()kfx，可得到斜率k为关于0x的二次函数。根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。一、用导数求函数某点处的切线与过某点的切线例1、（I）求曲线32xxy在点)1,1(A处的切线方程。（II）求曲线32xxy过点)1,1(A的切线方程。分析：（I）由32xxy得232xy，1|1xy，所以曲线在点)1,1(A处的切线方程为)1(1xy，即02yx。（II）设切点为)2,(3000xxxP，又232xy，所以切线斜率为2032|0xyxx，则曲线在P点的切线方程为))(32()2(020300xxxxxy．又)1,1(A在切线上，于是就有)1)(32()2(1020300xxxx，即01322030xx，解得10x或210x；当10x时，切点就是)1,1(A，切线为02yx；当210x时，切点就是)87,21(P，切线斜率为45|21xy，切线为0145yx．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一。二、用导数判断函数的单调性一般地，若已知三次函数32()(0)fxaxbxcxda在(,)m上是增函数，在2(,)mn上是减函数，在(,)n上是增函数,则二次方程()fx=0即2320axbxc的两个根为m，n；且当(,)(,)xmn和时()0fx，当(,)xmn时()0fx，反之亦然。例1、求函数32()31fxxx的单调区间。分析：求出导数y′，令y′0或y′0，解出x的取值范围即可。解：236yxx由y′0得2360yxx，解得x﹤0或x﹥2。由y′0得2360yxx，解得0﹤x＜2。故所求单调增区间为(,0))和(2,+，单调减区间为(0,2)。例2、已知32()31fxaxxx在R上是减函数，求a的取值范围。解：函数f（x）的导数：22()361fxaxx。当f'（x）＜0（x∈R）时，由f（x）是R上减函数得，23610axx（x∈R）⇔a＜0且△=36+12a＜0，⇔a＜-3．所以，当a＜-3时，由f'（x）＜0，知f（x）（x∈R）是减函数；例3、已知3()fxaxx恰有三个单调区间,求a的范围。解：2()31fxax，∵3()fxaxx恰有三个单调区间,∴方程()0fx必有两个不等根，∴＞0，0120a∴a＜0。方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数()fx；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式()0fx和()0fx；（4）确定f(x)的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。三、用导数求函数的最值例1、已知函数32()39fxxxxa，若()fx)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。解：2()369fxxx，令()0fx解得x－1或x3所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1）和（3，＋∞）。2123minmax()(1)5,()max(2),(2)fxfafxff)2()2(,22)2(,2)2(ffafaf3于是有2220a，解得2a．故32()392fxxxx，因此f(－1)＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7。四、用导数求函数的相异实根的个数例1、设aR，讨论关于x的方程3230xxa的相异实根的个数。0,2063)()(212xxxxxfxf的两根为导函数函数，()(2)4,()(0)fxfafxfa函数的极大值是的极小值是，令321()3fxxx，2()fxa（1）当04aa或时，函数()fx与()gx只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当04aa或时，函数()fx与()gx只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当04a时，函数()fx与()gx有三个交点，方程有三个根．例2、若方程330xxm有一个二重根，求m的值。解：令，312,3yxyxm则问题转化为已知直线31yx与曲线23yxm相切，求m的值。令切点为（x0,y0），则3002033xyx，解之1100yx或1100yx，∴m=2或－2。评注：研究方程注意与函数之间的关系。五、利用导数解决实际生活中的优化问题在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。例1：某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销。经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销售额约25tt(百万元)(0≤t≤3)。现在该集团准备投入300万元，分别用于广告促销和技术改造。经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约32133xxx(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该集团由这两项共同产生的收益最大。(结果保留整数)思路点拨：两种销售额去掉总投入，列出函数关系式，再求最值。解：设用于技术改造的资金为x(0≤x≤3)(百万元)，则用于广告的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为43221()(3)(3)5(3)33gxxxxxx3143(03)3xxx对()gx求导，得2()4gxx令2()40gxx，得x＝2或x＝－2(舍去)．当0≤x2时，()0gx，即g(x)在[0,2)上单调递增，当2x≤3时，()0gx，即g(x)在(2,3]上单调递减．∴当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝253。故在300万元资金中，200万元用于技术改造，100万元用于广告促销，这样集团由此所增加的收益最大，最大收益约为833万元。评注：这是一道生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数。如果用过去的知识求其最值，往往没有一般方法，即使能求出，也涉及到较高的技巧。而运用导数知识求三次目标函数的最值就非常简单。对于生活中的优化问题，如果其目标函数是高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可运用导数求最值。六、三次函数的对称中心三次函数的对称中心高考涉及少，有些题如果用好了这个结论，用导数求三次函数的对称中心，会发现速度加快。因为三次函数32()(0)fxaxbxcxda的导函数是二次函数2()32(0)fxaxbxca，二次函数是轴对称图形，根据导数的几何意义，说明三次函数的图象上关于某个点对称的两点处的导数值始终相等，说明这两点处切线的斜率相等。所以三次函数32()(0)fxaxbxcxda对称中心的横坐标是其导函数的极值点的横坐标3bxa。三次函数32()(0)fxaxbxcxda是关于点对称，且对称中心为点(,())33bbfaa，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，参考资料：1、普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社）2、高中数学教学参考