导数在函数求最大值和最小值中的应用

导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f(x)＝5x＋234xx的值域.解析：由3040xx≥≥得f(x)的定义域为－3≤x≤4，原问题转化为求f(x)在区间[－3,4]上的最值问题。∵y’＝f’(x)＝115324xx,在[－3，4]上f’(x)＞0恒成立,∴f(x)在[－3，4]上单调递增．∴当x＝－3时ymin＝－15－7，当x=4时ymax=20＋27，∴函数的值域为[－15－7，20＋27].例2．设32a1，函数f(x)＝x3－23ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62,求a,b的值。解析：f’(x)=3x2－3ax=3x(x－a)，当x变化时，f’(x),f(x)的变化情况列表如下：当x=0时,f(x)取极大值b，而f(0)f(a)，f(－1)f(1)，∴需要比较f(0)与f(1)的大小，∵f(0)－f(1)＝23a－10，∴f(x)的最大值为f(0)＝b－1，又f(－1)－f(a)=21(a3－3a－2)=21(a+1)2(a－)0，∴f(x)|min=f(－1)，∴－23a－1+b=－23a=－62,∴a=63，b=1.例3．若函数f(x)在[0，a]上单调递增且可导，f(x)0，f(x)是严格单调递增的，求()fxx在(0，a]上的最大值。解析：2()'()()[]'fxfxxfxxx，∵f(x)是严格单调递增的，∴f’(x)0，∵f(x)0，x0，∴f’(x)·x－f(x)0，∴2()'()()[]'fxfxxfxxx0，∴()fxx在(0，a]上是增函数。∴()fxx在(0，a]上最大值为()faa．例4．设g(y)＝1－x2＋4xy3－y4在y∈[－1，0]上最大值为f(x)，x∈R，①求f(x)表达式；②求f(x)最大值。解析：g’(y)=－4y2(y－3x),y∈[－1,0]，当x≥0时，g’(y)≥0，∴g(y)在[－1,0]上递增,∴f(x)=g(0)=1－x2.当－31x0时，g’(y)0，在[－1，3x]上恒成立，在(3x，0)上恒成立，∴f(x)=g(3x)=1－x2+27x4.当x≤－31时，g’(y)，g(y)在[－1，0]上递减,∴f(x)=g(－1)=－x2－4x,∴f(x)=224210112703143xxxxxxxx≥≤.②当x≥0时，f(x)≤f(0)=1，当x∈(－31，0)时，f(x)=27[(x－154)2－2154]+1f(－31)=119,当x≤－31时，f(x)＝－(x＋2)2＋4≤f(－2)＝4,∵11194，∴f(x)|max＝f(－2)＝4.例5．设函数f(x)＝3x2+3ax(x∈(0，＋∞))，求正数a的范围，使对任意的x∈(0，＋∞)，都有不等式f(x)＞20成立。解析：f’(x)＝6x－43ax，令f’(x)=0得x＝15()2a，当0x15()2a时，f’(x)＜0，当x15()2a时f’(x)＞0，∴x＝15()2a是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.要使f(x)≥20恒成立，∴f(x)|min≥20,∴12255532555(())3()2022()22aaafaa≥,解得a≥64.例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，∴h=222SRR,∴V(R)＝S底面·h=2222122SRRSRRR,由V’(R)=0得21S－3πR2=0得S=6πR2，∴6πR2=2πRh+2πR2，∴h=2R，即当罐的高和底面直径相等时容积最大．例7．已知三次函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．（1）设f(x)在x＝s及x=t处取最值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；（2）设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证：AB中点C在曲线y＝f(x)上；（3）若a＋b＜22，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两直线不可能垂直。解析：（1）f’(x)＝3x2－2(a＋b)x+ab，由f(x)在x＝s和x＝t处取最值，∴s，t分别是方程f’(x)＝0的两实根．∵f’(0)=ab0，f’(a)＝3a2－2(a＋b)a+ab=a(a－b)0，f’(b)＝b2－ab=b(b－a)0，∴f’(x)＝0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根，∵st，∴0＜s＜a＜t＜b.（2）由s，t是方程f’(x)＝0的两根．∴2()33abstabst,∴f(s)+f(t)=342()()273ababab,∵3211()()()()[()()]232732stabffabababfsft,∴AB的中点C(2st，f(2st))在曲线y=f(x)上.（3）过曲线上点(x1，y1)的切线方程为y－y1=[3x12－2(a＋b)x1+ab](x－x1),由y1=x1(x1－a)(x1－b)且切线过原点．∴－x1(x1－a)(x1－b)=－x1[3x12－2(a＋b)x1＋ab],当x1=0时，切线的斜率为k1=ab，当x1=2ab时，切线斜率为－41(a+b)2+ab，∵a,b0，a+b22，∴k1k2=[－41(a+b)2+ab],Ab=(ab)2－41(a+b)2+ab(ab)2－2ab=(ab－1)2－1≥－1∴k1k2≠－1，即两切线不可能垂直。例8、设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2.剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）f（x）=3x2+2mx+n.∵f（x）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x=0时，f（x）取到极大值.∴f（0）=0.∴n=0.（2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），f（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－32m，∵函数f（x）在［0，2］上是减函数，∴x2=－32m≥2.∴m≤－3.∴f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2.评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.例9、已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值.解：（1）f（x）=12x2+2ax+b，f（1）=12+2a+b=－12.①又x=1，y=－12在f（x）的图象上，∴4+a+b+5=－12.②由①②得a=－3，b=－18，∴f（x）=4x3－3x2－18x+5.（2）f（x）=12x2－6x－18=0，得x=－1，23，f（－1）=16，f（23）=－461，f（－3）=－76，f（1）=－13.∴f（x）的最大值为16，最小值为－76.例14（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数()lnafxxx，（1）当0a时，判断()fx在定义域上的单调性；（2）若()fx在[1,]e上的最小值为32，求a的值；（3）若2()fxx在(1,)上恒成立，求a的取值范围．（2）由（1）可知：2()xafxx①若1a，则0xa，()fx在[1,]e上为增函数，②若ae，则0xa，()fx在[1,]e上为减函数，③若1ea，令()0fx得xa，当1xa时，()0,()fxfx在(1,)a上为减函数，当axe时，()0,()fxfx在(,)ae上为增函数，min3[()]()ln()12fxfaaae，(3)令232116()ln,()()1ln3,()6xgxxxxhxgxxxhxxxx，