导数微分知识点

第二章导数与微分一、导数定义名称定义记号函数)x(f在ox点可导设函数)x(f在)x(Uo点有定义x)x(f)xx(flimxylim000x0x，)b,a()xx(0存在，则)x(f在0x点可导（或00xxxx)x(f)x(flim0存在）)x(f0x)x(f)xx(flim000x函数)x(f在)b,a(上可导若函数)x(f在)b,a(上每一点都可导，则称函数)x(f在)b,a(上可导函数)x(f在ox点左导数若极限x)x(f)xx(flim000x存在，则其为)x(f在0x点的左导数（或00xxxx)x(f)x(flim0存在）)x(f0x)x(f)xx(flim000x函数)x(f在ox点右导数若极限x)x(f)xx(flim000x存在，则其为)x(f在0x点的右导数（或00xxxx)x(f)x(flim0存在）)x(f0x)x(f)xx(flim000x函数)x(f在]b,a[上可导若函数)x(f在]b,a[上每一点都可导，区间端点的导数理解为单侧导数二、导数的几何意义几何意义切线方程法线方程导数)x(f0表示曲线)x(fy在点))x(f,x(00的切线的斜率)x(fy0)xx)(x(f00)x(fy0)xx()x(f100三、函数的求导法则法则公式或定理和差积商的求导法则设函数)x(u、)x(v在x点可导，则①vu)vu(wvu)wvu(②vuvu)vu(为常数））（C(uC)Cu(wuvwvuvwuuvw③2vvuvu)vu(，)0v(为常数）（）（CvCvC2复合函数的求导设）（，而xu)u(fy，且)x(f、)x(都可导，则复合函数)]x([f可导，且dxdududy)x()u(fdxdy．反函数的求导设函数)y(x在)d,c(上单调、可导，值域为)b,a(，且0)y(，则反函数)x(fy在)b,a(处可导，且)y(1)x(f隐函数的求导若方程0)y,x(F能确定y是x的函数)x(fy，则求xy时只要0)y,x(F两边同时对x求导，再整理出)y,x(gy的形式即可。对数求导法某些函数（如幂指函数或连乘式）求导时，可先两边同时取对数，化为隐函数，再求导。（但结果要注意要回代y）参数方程的求导)t(y)t(x在),(上连续、可导，0)t(，则参数式确定的函数)]x([y1可导，且)t()t(xydxdytt，另)t())t()t((xydxydttx22。四、基本初等函数的求导公式0)C(（C为常数）xcos)x(sinxtanxsec)x(sec1x)x(xsin)x(cosxcotxcsc)x(csc)1a,0a(alna)a(xxxsec)x(tan22x11)x(arctanxxe)e(xcsc)x(cot22x11)xcotarc()1a,0a(alnx1)x(loga)1x1(x11)x(arcsin2x1)x(ln)1x1(x11)x(arccos2五、高阶导数的基本公式x)n(xe)e(nnx1n1)x(）（）（）（)2naxsin(a)ax(sinn)n()2nbxcos(b)bxcos(n)n(n1n)n()x1()1n()1()]x1[ln(！1nn)n()x1(n)1()x11(！莱布尼兹公式：）（）（）（）（knkn0kknnvuCuv，其中!kn(knCkn）！！，)x(v,)x(u有n阶导数六、微分与导数之间的关系函数在x点可微函数)x(f在x点可导，因此dx)x(fdy七、利用微分作近似计算的常用公式在oxx处，当x较小时，x)x(f)x(f)xx(fyooo在oxx处，当x较小时，x)x(f)x(f)xx(fooo在较小时，且令处xxx,0xo，x0f0fxf）（）（）（x1ex；x1)x1(；x)x1ln(；xxsin；xxtan。