导数的应用复习提纲

《导数的应用》复习【复习目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．【复习回顾】1.导数和函数单调性的关系：2.利用导数求解函数极值与最值的步骤:【基础检测】1．若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy=（）A4B4ΔxC4+2ΔxD2Δx2．若0()0fx，则0x是()fx的（）Ａ．极大值点Ｂ．极小值点Ｃ．极大或极小值点Ｄ．可能的极值点３．曲线23xxy在点P0处的切线平行于直线xy4，则点P0的坐标是（）．A．(0，1)B．(1，0)C．(－1,－4)或（1，0）D．(－1,－4)4.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3）B.（π,2π）C.（2π3,2π5）D.（2π,3π）5．设()fx是函数()fx的导函数，()yfx的图象如图所示，则()yfx的图象最有可能的是（）6．设)(),(xgxf是定义在Ｒ上的恒大于零的可导函数，且满足)()()()(xgxfxgxf＞０，则当bxa时有（）．Ａ．)()()()(bgbfxgxfＢ．)()()()(xgafagxfＣ．)()()()(xgbfbgxfＤ．)()()()(agafxgxf7、设P点是曲线3233xxy上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是()A．),32[)2,0[B．),65[)2,0[C．),32[D．)65,2(8、已知函数32()(6)1fxxaxax有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．-1＜a＜2B．-3＜a＜6C．a＜-3或a＞6D．a＜-1或a＞29．已知曲线3:3Syxx及点(22)P，，则过点P可向S引切线的条数为（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．310．函数()yfx的图象过原点且它的导函数()yfx的图象是如图所示的一条直线，则()yfx的图象的顶点在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限11.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________12．当2,1x时，mxxx2213恒成立，则实数m的取值范围是___________．13.如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:xy12345-1-2-3O1-2-①函数y=f（x）在区间（－3,－21）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－21,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－21时,函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_____________14.已知f（x）=2ax－xb+lnx在x=－1,x=21处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若对x∈［41,4］时，f（x）＞c恒成立，求c的取值范围.15.已知x∈R,求证：ex≥x+1.16.若函数f（x）=31x3－21ax2+（a－1）x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.17、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．【能力提升】18、函数342xxy的值域是_____________.19．设0a，)0(ln2ln1)(2xxaxxxf.（Ⅰ）令)()(xfxxF，讨论)(xF在（0，＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x时，恒有1ln2ln2xaxx.【小结】1.函数单调性的充分条件，若f′（x）＞0（或＜0），则f（x）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f（x）在（a,b）内可导，若f（x）在（a,b）上单调递增（或递减），则f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在（a,b）的任意子区间上都不恒为零.答案1——10CＤＣCＣBACＤＡ11、m≥3112、),2(；13、③14解:（1）∵f（x）=2ax－xb+lnx,∴f′（x）=2a+2xb+x1.∵f（x）在x=－1与x=21处取得极值，∴f′（－1）=0,f′（21）=0,即.0242,012baba解得.1,1ba∴所求a、b的值分别为1、－1.（2）由（1）得f′（x）=2－21x+x1=21x（2x2+x－1）=21x（2x－1）（x+1）.∴当x∈［41,21］时，f′（x）＜0;当x∈［21,4］时，f′（x）＞0.∴f（21）是f（x）在［41,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，4rCDAB2r∴f（x）min=f（21）=3－ln2.∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3－ln2.∴c的取值范围为c＜3－ln2.15、证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1.∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0.当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.∴f（x）＞f（0）=0.当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0.∴对x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.16、解:函数f（x）的导数f′（x）=x2－ax+a－1.令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a－1＞1,即a＞2时，函数f（x）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a－1）内为减函数，在（a－1,+∞）上为增函数.依题意应有当x∈（1,4）时，f′（x）＜0,当x∈（6,+∞）时，f′（x）＞0.所以4≤a－1≤6,解得5≤a≤7.所以a的取值范围是［5,7］.17.解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），则点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程22221(0)4xyyrr≥，解得222(0)yrxxr221(22)22Sxrrx222()xrrx，其定义域为0xxr．（II）记222()4()()0fxxrrxxr，，则2()8()(2)fxxrrx．令()0fx，得12xr．因为当02rx时，()0fx；当2rxr时，()0fx，所以12fr是()fx的最大值．CDABOxy因此，当12xr时，S也取得最大值，最大值为213322frr．即梯形面积S的最大值为2332r．18、解答过程：由03042xx得，2x，即函数的定义域为[,)2.34224232321421xxxxxxy，又4232824232xxxxx，当2x时，0y，函数342xxy在(,)2上是增函数，而1)2(f，342xxy的值域是),1[.19解：（Ⅰ）根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，故()()2ln20Fxxfxxxax，，于是22()10xFxxxx，，列表如下：x(02)，2(2)，∞()Fx0()Fx↘极小值(2)F↗故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．