矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：******专业：*******学号：*******指导教师：********2015年12月LittlePaperabouttheCourseofLinearAlgebraandMatrixAnalysisMatrixDecompositionanditsApplicationCandidate:******Major:*********StudentID:******Supervisor:******12,2015中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和Fitting分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用AbstractManyparticulartypesofmatrixaresplitintotheproductofamatrixofseveralmatrices,whichiscalleddecompositionofmatrix.Inthispaper,weintroducesomemethodsofmatrixdecomposition,whichareequivalentdecomposition,triangulardecomposition,spectraldecomposition,singularvaluedecomposition,Fittingdecompositionandsoon.Thedecompositiontheoryandmethodofmatrixisanimportantpartofmatrixanalysis,whichiswidelyusedinsolvingthecharacteristicvalue,solvinglinearequationsandthepracticalengineering.Inthispaper,wewillintroducethetheoryofmatrixequivalencedecomposition,triangulardecomposition,singularvaluedecompositionandtheengineeringapplicationoftriangulardecomposition.Keywords：EquivalentDecomposition,TriangularDecomposition,SingularValueDecomposition,Application目录中文摘要......................................................................1ABSTRACT......................................................................11绪论........................................................................12矩阵分解的常用方法...........................................................12.1矩阵的等价分解.............................................................12.2矩阵的三角分解.............................................................22.2.1矩阵的三角分解.........................................................22.2.2矩阵的正三角分解.......................................................22.3矩阵的谱分解...............................................................52.3.1单纯形矩阵的谱分解.....................................................52.3.2正规矩阵与酉对角化.....................................................62.3.3正规矩阵的谱分解.......................................................62.4矩阵的奇异值分解...........................................................72.4.1矩阵的奇异值分解（SVD分解）...........................................72.5矩阵的FITTING分解.........................................................73矩阵分解的理论应用...........................................................83.1矩阵等价分解的理论应用.....................................................83.2矩阵三角分解的理论应用.....................................................83.3矩阵奇异值分解的理论应用...................................................94矩阵分解在递推系统辨识中的应用..............................................104.1递推系统辨识中的困难......................................................104.1.1病态问题..............................................................104.1.2效率和计算量问题......................................................104.2QR分解的实现方法.........................................................114.2.1GIVENS变换...........................................................134.3递推算法..................................................................135结论.......................................................................186参考文献...................................................................1811绪论矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。在实际应用中，利用矩阵的某些分解来解决一些实际的工程数学问题有明显的效果。如计算某些特大、特殊矩阵时，矩阵的三角分解非常有作用，可以大大简化很多计算过程。矩阵的QR（正交三角）分解在状态估计具有很好的计算效率。谱分解作为一种强有力的工具，在处理矩阵等式和矩阵不等式的过程中有着非常重要的作用。奇异值分解是研究数学的一种重要方法，并在最优化问题、特征值问题、广义逆矩阵计算、谱估计、控制理论等领域，有极其重要的作用。矩阵的Fitting分解可看作是复矩阵的Jordan分解在一般域上的推广，它在运筹与控制论方面有至关重要的作用。2矩阵分解的常用方法矩阵分解大致可以分为等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和Fitting分解等五大类。2.1矩阵的等价分解定理1.1：（等价分解）若mnAR,则存在m阶的可逆阵P及n阶可逆阵Q使得rPdiag(E0)Q，，其中r=rank(A) 。证明：设xr+1，…，xn是N(A)的基，将其扩充成Rm的基1,,,,rnxxx，因为Ax1，…，Axr是线性无关的，所以将其扩充成Rm的基11,,,,rrmAxAxyy。令11rrmPAxAxyy，并且1100rAQAxAx。于是(,0)rAPdiagEQ。定理1.2：（满秩分解）若mnAR,则存在列满秩阵BϵRmxr和行满秩阵CϵRrxn使得ABC，其中r=rank（A）。22.2矩阵的三角分解2.2.1矩阵的三角分解（1）LU分解三角分解法是将方阵分解成为一个上三角阵和一个下三角阵，这样的分解法称为LU分解法。定理2.1：（LU分解）对一任意方阵nnAC，均可分解为两个三角阵的乘积，即：PA-LU,其中P为置换阵，下三角形矩阵nnLC，上三角形矩阵nnUC。定理2.2：方阵nnAC，rankAn，则A可以作LU分解的充要条件是A的K阶（K=1，2，…，n-1）的顺序主子式不为零。定理2.3：方阵nnAC，rankArn，A的K阶（K=1，2，…，r）的顺序主子式不为零，则可以作LU分解（Doolittle分解）。证明：当矩阵的阶数为n时，用数字归纳法来证。当1n时，结论显然成立。假设对n-1阶矩阵结论成立，下面证明对于n阶矩阵结论也成立。将A分块可以得A=[An−1ECann]，令L1=[En−10CAn−1−11]易见A=L1[An−1B0ann−CAn−1−1B]令ann−CAn−1−1B=b，由归纳假设有An−1=L2U2，其中2L为单位下三角阵，U2为上三角阵。于是A=L1[L2U2B0b]=L1[L2001][U2L2−1B0b]，令L=L1[L2001]，U=[U2L2−1B0b]，则L为单位下三角阵，U为上三角阵，故ALU。（2）对称阵的Cholesky分解定理2.4：设A为对称阵，则存在唯一分解：TALL，其中L为单位下三角阵。证明：由Doolittle分解，A有唯一分解：ALU；则A=LU=AT=UTLT，即LU=UTLT，有TLU；所以A=LLT。定理2.5：设A为对称正定阵，则存在唯一分解：TALDL，其中L为单位下三角阵，D为对角线元素大于零的对角阵。2.2.2矩阵的正三角分解（1）QR分解3若n阶实非奇异矩阵A可以分解为正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积，即AQR，则称该分解式为矩阵A的QR分解；进而A是mn列满秩矩阵，若A=QR，其中Q是m×n矩阵，TQQE(称Q为列正交矩阵)，R为非奇异上三角矩阵，也称为矩阵A的QR分解。（ⅰ）利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解Schmidt正交化方法是矩阵的QR。分解最常用的方法，主要依据下面的两个结论：结论2.6：设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解；且除去相差一个对角元素的绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外，分解是唯一的。结