小初衔接暑假专题-数的运算与运用

暑期专题辅导材料【教学内容】小升初衔接课程——数的运算和应用【教学目标】1、掌握自然数、整数、分数和小数的意义和读、写法以及它们的基本性质。2、熟练地掌握十进制计数法和整、小数数位顺序表；改写成用“万”或“亿”作单位的数；求小数的近似数；并能熟练地进行分数、小数与百分数之间的互化，并能进行数的大小比较。3、掌握数的整除的有关概念，进一步理解整除、倍数、约数、质数、合数、公约数、公倍数、互质数的意义，并能熟练地掌握能被2、3、5整除的数的特征，能正确迅速地求最大约数与最小公倍数。4、掌握加、减、乘、除四则运算的意义、法则、运算顺序、运算定律和性质；并能根据题目灵活运用这些知识使计算简便；能理解四则运算中的数学术语，会列综合算式解答文字题；进一步提高计算能力。5、理解、掌握一般复合应用题、典型的应用题的解题思路和解题方法，能正确地、熟练地用分析法、综合法或分析综合法解答应用题。6、能够比较灵活地运用所学知识独立解答复杂的应用题和生活中一些简单的实际问题。【知识讲解】一、数的意义1、整数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3……叫做自然数。一个物体也没有，用0来表示。0不是自然数，自然数和0都是整数。“一”是自然数的单位，任何自然数是由若干个1组成的。2、分数（1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，表示其中一份的数是这个分数的分数单位。分数还可以用来表示两个整数相除的商，即：)0(bbaba（2）表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数可以化成分母是100的分数，但“分母是100的分数就叫做百分数”。的说法是错误的。（3）几成就是十分之几，也就是百分之几十。（4）几折就表示两价是现价的百分之几十。3、小数（1）小数的分类。a、按小数部分分有限小数：0.6、7.018小数无限循环小数：0.666…、8.14242…无限小数：无限不循环小数：3.141592653…（）b、按整数部分分纯小数：0.6、0.666…小数带小数：7.018、8.14242…整数部分是零的小数叫纯小数；纯小数比1小。整数部分不是零的小数叫带小数；带小数比1大。（2）整数和小数数位顺序表。整数部分小数点小数部分…亿级万级个级数位…千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位·十分位百分位千分位万分位…计数单位…千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十个十分之一百分之一千分之一万分之一…二、数的读法和写法1、整数的读法和写法读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个字。写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。2、小数的读法和写法读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分一般顺次读出每个数位上的数字。写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。3、分数的读法和写法。读法：先读出分母，再读出分子。如52读作五分之二。写法：如十二分之七写作127，四分之三写作43。4、百分数的读法和写法。如：75%读作百分之七十五；0.05%读作百分之零点零五。三、数的改写1、把一个较大的多位数，改写成“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的尾数，写成近似数。如：24000000=2400万5098040≈510万2、假分数与带分数或整数之间的改写。如：23412,523517,3731。3、分数、小数与百分数之间的互化。四、数的大小比较小数分数先改写成分母为10、100、1000…的分数、再约分百分数小数点向右移动两位，再添上%写成分数形式并约分去掉%，小数点向左移动两位先写成小数成整数再写成百分数1、整数的大小比较比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数……直到比较出数的大小。2、小数的大小比较比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上的数大的那个数就大……3、分数的大小比较分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的分数，分母小的分数比较大；分子和分母都都不相同的分数，先通分，再比较大小。或将它们的分子变成同一分子、再比较，例如：9372与63187218693,21672632193或4、分数、百分数、小数的混合比较一般将它们统一化成小数，然后按小数的大小比较方法，进行比较。三、整的整除1、整除的意义整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。2、约数和倍数如果整数a能被整数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3、能被2、5、3整除的数的特征。个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除；个位上是0和5的数都能被5整除；一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整作。4、质数、合数、分解质因数一个数，如果只有1和它本身两个约数，叫做质数。一个数，如果除了1和本身，还有别的约数，叫做合数。5、最大公约数和最小公倍数几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公约数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数。公约数只有1的两个数叫做互质数。6、最大公约数和最小公倍数的三种表现形式。①较大的数是较小的数的倍数，则较大的数就是它们的最小公倍数，较小的数就是它们的最大公约数。②如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公约数是1。③如果两个数具有公共质因数，那么，它们各自的质因数和公共质因数的乘积就是它们的最小公倍数；它们的最大公约数是它们公共质因数的乘积。六、分数和小数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。七、四则运算的意义和法则数的范围内容运算名称整数小数分数（百分数）加法意义把两个数合并成一个数的运算计算法则数位对齐小数点对齐同分母，直接相加，异分母，先通分，再加减法意义已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算计算法则数位对齐小数点对齐同分母，直接相加，异分母，先通分，再相减共同点相同计数单位上的数相加减。乘法意义求几个相同加数和的简便运算。求一个数的几倍（几分之几）是多少计算法则①从乘数的末位算起，用乘数的每一位去乘被乘数，得数的末位和乘数的末位对齐。②先按整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数中有几位小数，就从积的右边起向左边数出几位，点上小数点。③用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。除法意义已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算计算法则从被除数的高位起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上面，余数必须比除数小。除数是整数时，按照整数除法来除，商的小数点和被除数的小数点对齐；除数是小数时，先把除数变为整数，被除数也随之扩大，然后按除数是整数的小数除法进行甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数八、四则混合运算在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，7再算中括号里面的，最后算括号外面的。九、运算定律和性质1、加法的交换律：a+b=b+a2、加法的结合律：a+b+c=a+(b+c)3、乘法的交换律：a×b=b×a4、乘法的结合律：a×b×c=a×(b×c)5、乘法的分配律：(a+b)×c=a×c+b×c6、减法的运算性质：a-b-c=a-(b+c)7、除法的运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)十、有关数的应用题一般复合应用题无一定的解答规律，可以把它先分解成几个简单的一步应用题，分别求出间接问题，然后求出结果。在具体分析解答中，一般采用分析法、综合法或分析综合法。例、某工厂存煤160吨，原来每天烧1.5吨，烧了20天后，剩下的每天只烧1.3吨，还可以烧多少天？(1)分析法——就是从问题入手，逐步分析到题里的已知条件。思路为：算式为：[160-(1.5×20)]÷1.3（2）综合法——就是从应用题的已知条件逐步推向未知，直到求出解。思路为：(3)分析综合法——是将分析法、综合法结合起来交替使用的方法。当已知条件中有明显计算过程时，就用综合法顺推，遇到困难时再转向原题所提的问题用分析法帮忙，逆推几步，顺推与逆推联系上，问题更解决了。2、解答一般应用题，按照以下步骤进行：①审清题意，并找出已知条件和所求问题；②分析题目里的数量关系，从而确定先算什么，再算什么，最后算什么；③列式计算；④检验并写出答案；还可以烧多少天？剩下的吨数每天只烧1.3吨÷原存烧160吨数-已烧的吨数原来每天烧1.5吨×已烧了20天原来每天烧1.5吨烧了20天×原存煤160吨已经烧的吨数-剩下的吨数÷每天只烧1.3吨还可以烧多少天？3、典型应用题是指用两步或两步以上运算解答的并且有一定解答规律的应用题。如：求平均数应用题；相遇、追及问题；归一问题和倍、差倍与和差问题；植树问题；还原问题；假设问题等，要特别注意认识各类应用题的特点，掌握各类典型应用题的解题规律。4、分数乘法应用题已知一个数，求它的几分之几（百分之几）是多少，用乘法。即：一个数×几分之几（百分之几）。特征：条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几（百分之几）（分率）问题：求单位“1”的几分之几（百分之几）是多少用等式表示三者的关系：单位“1”的量×分率=分率所对应的量5、分数除法应用题（1）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几），用除法。即：一个数÷另一个数特征：条件：表示单位“1”的量；单位“1”的几分之几是多少（分率所对应的量）问题：求分率所对应的量是单位“1”的几分之几（百分之几）（分率）用等式表示三者的关系：分率所对应的量÷单位“1”的量=对应分率（2）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数，用除法。即：多少÷几分之几特征：条件：单位“1”的几分之几（分率）；单位“1”的几分之几是多少（分率所对应的量）问题：表示单位“1”的量用等式表示三者关系：分率所对应的量÷分率=单位“1”的量6、工程问题的应用题把工作总量用“1”表示，工作效率用单位时间内做工作总量的“几分之一”表示。根据工作总量与工作效率的和，就能求出合作完成工作的时间。三者之间的关系式：工作效率×工作时间=工作总量（单位“1”）工作总量（单位“1”）÷工作时间=工作效率工作总量（单位“1”）÷工作效率=工作时间【例题分析】例1、一个八位数，最高位上的数是最小的自然数，万位上是最小的质数，百位上是最小的合数。其余各位上是0。这个数写作（），读作（），改写成以万为单位的数是（），用四舍五入法省略万后面的尾数记作（）。分析：只要能写出这个八位数，其它问题即可迎刃而解。由“八位数”可确定最高位是千万位，又因为“最小的自然数是1，”所以千万位是1；“万位上是最小的质数”，而最小的质数是2，所以万位上是2；“百位上是最小的合数”，而最小的合数是4，所以百位上的数是4；“其余各位上都是0”指百万位，十万位，千位，十位，个位都是0。因此这个八位数写作10020400。这个八位数，含有万级和个级，读数时，要先读万级的数，万级含有四位，读作一千零二万（万级中间有两个“0”，只读一个“0”）；后读个级的数，读作零四百（个级的头一个“0”要读出来，末尾的“0”不读）。读作：一千零二万零四百。我们可将读数方法编成顺口溜：读数要从高位起，四位分级