课题：课本(七上)将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案

课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案夏格庄中心中学陈翠庆【学习目标】：能利用轴对称、勾股定理解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．数形结合的思想【学习重点：】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．利用勾股定理构造直角三角形，求最短距离学案说明：1、要求：请先独立思考解题思路和方法，然后小组合作交流，派代表说出思路及解决办法，或提出疑问2、带*号的题可作为课后题【学习过程】一、基础知识回顾1、轴对称的性质：_________________________________.2、线段的性质：两点之间，_________最短.三角形三边的关系3、勾股定理：____________________________________.4、常见的轴对称图形有哪些？二、问题探究活动一（作一次轴对称）如图，A、B是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？问题2（七年级上册课本第48页第5题古希腊有名的将军饮马问题）如图，直线l是草原上的一条河。将军从草原的A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察。那么走什么样的路线行程最短呢？请在图中画出最短路线，并说明理由小结：1、问题1中的点A、B是定点，点P是在直线l上的点，当点P运动到使线段AP、BP在直线上时，PA+PB最小_A_BB2、利用轴对称把问题2中的A、B在直线l同侧问题转化为问题变式1如图所示,P和Q为⊿ABC边AB与AC上两点在BC上求作一点M.使∠PQM得周长最小变式2如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE＝3，BE＝1，P是AC上的动点，则⊿BEP周长的最小值是________．【问题3】如图所示，两个村庄A、B在铁路CD两侧，且CD=40千米，AC⊥CD于C,BD⊥CD于B,AC=20千米，BD=10千米，则两个村庄的距离是千米小结：构造直角三角形，利用，求最短距离变式1如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短(请你在图中设计出水厂的位置)；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？.P.QCBACDABC变式2如图，圆柱形玻璃杯(无盖)高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．变式4如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发．（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标．（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标．（3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？求出最短的距离之和。你还能求出该点的坐标吗？问题4火眼金睛辨得清1、如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？*2、如图，A和B两个村庄在一条河的两岸(河两岸平行)，为了使A、B两村的交通更加便利，现要在河上建一座桥．要求这座桥要垂直于河岸，同时到两村的距离相等．应如何设计，请画图说明．活动二（作两次轴对称）问题5(1)如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；（2）若P1P2=5cm，则△PMN的周长为______．（3）观察若点P是定点，（1）中的作法，使线段PM、PN、MN在一条直线上，此时△PMN的周长最______变式1如图点P是∠AOB内一点，在边OA、OB分别求作一点C、D使△PCD的周长最小变式2如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？变式3如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；OMN（1）若P1P2=8cm，则△PMN的周长为_____．（2）求证：△OP1P2是等腰三角形．（3）若∠AOB=45°,P1P2=8cm，求∠AOB的大小和OP的长（4）小颖说，因为∠P1OP2=2∠AOB,且OP1=OP2=OP,若∠AOB大小不变,则点P离点O越近△PMN的周长越小。你认为她说的有道理吗？【目标检测】边长为2的等边三角形ABC中，点D、E是AB、AC的中点，在BE上找一点P，使△ADP的最小周长为________。2、点A（0，1）和点B（4，3），在x轴上有一点C,使△ABC的周长最小。请你确定点C的坐标是______。*课外拓展1如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；（1）若P1P2=8cm，则△PMN的周长为_____．（2）求证：△OP1P2是等腰三角形．（3）若∠AOB=45°,P1P2=8cm，求∠AOB的大小和OP的长（4）小颖说，因为∠P1OP2=2∠AOB,且OP1=OP2=OP,若∠AOB大小不变,则点P离点O越近△PMN的周长越小。你认为她说的有道理吗？课外变式训练*1、如图连接AB,若△AOB是锐角三角形，当点P是边AB上一动点，当P运动到何处时，在边OA、OB上能分别求作一点C、D使△PCD的周长最小EDABCEDABC8642-2-4-6-8-10-55100BAxyOxyBDACP*2、若△ABC是边长为2的等边三角形，分别在三边上求作点P、M、N使△PMN周长最小，并求这个最小值*【中考链接】1、（09湖北荆门）一次函数ykxb的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D(1,2)，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．2、恩施州2008年数学中考第二十题如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?