复变函数(余家荣)3

xyoL0znz1z1kzkzk第三章复积分§1.Cauchy定理1.复积分光滑的设曲线是光滑的或分段注：从现在起我们总假.),(),()(上连续在简单曲线设Lyxivyxuzf令,存在极限如果nS的积分，记作沿可积，并称此极限为沿曲线则我们称)(LfLzf显然，是光滑曲线：设L则证复积分的性质其中则时的弧长，当是光滑曲线设,|)(|,)4(MzfLzLl例.为半径的正向圆周为心，是以其中ρac证明的方程为c所以闭曲线，证明：是一条设Jordan)2(c和证明计算)3(是其中cxyo1i1.1121)1(的折线，及点连接原点）（的线段；及点连接原点iOiO解:1)1(的线段的方程为及点连接原点iO所以的线段方程为：及点连接原点）（12O的线段方程为：及点连接点11i2.Cauchy定理问题，有内任意按段光滑闭曲线那么在什么情况下对内的复函数是定义在区域如果cDDzf,)(内有一阶连续偏导数，在及是单连通区域，设DyxvyxuD),(),(则.)(内解析在Dzf闭曲线，则内一条按段光滑是内单值解析在单连通区域如果Jordan,)(DcDzf边形的边界，则内一个多是内单值解析在单连通区域设,)(DcDzf2.Cauchy定理证明引理Δ.Δc的边界，也记作是一个三角形设(1)假设分成四个小三角形，则，将三角形连接三角形各边的中点.4M于或等于至少有一个的绝对值大等式右边的四个积分中，即为记此积分的三角形路径）（1，满足重复上述过程，得对）（）（21满足由此的序列},{)(n.U的长度为设.2)(nUn的长度为则时，由于当n.)(0中包含在每一个三角形所以存在唯一的一个点nz时，有且使得当||0,0,00δzzDzδε或.||00)(内的邻域就会包含在充分大，只要zzznn所以有时当,)(nz由于所以因此由此得即.0Mε是一个任意正数，所以由于ABCDE.(2)中多角形的边界是设Dc注.结论仍成立中一条闭折线，则上述是若Dc定义.)()(上的复函数是定义在区域和设Dzzf.)()(,)()(上的一个原函数在区域称作则解析且DzfzΦzfzΦ上在若DΦ.)()(上的不定积分在区域作上的所有原函数之集称在DzfDzf定义有及如果对任意设,,10.DyxtCD,)1(Dyttx.为凸集则称区域D引理2内在内解析，则在是一个凸集，设DzfDzfD)()(.存在有原函数0zzL1L2L证明.Dα设,Dz对于任意D其中,0Dz设因为所以定义则Dzδεzzf使得当存在连续，所以任取在由于,0,0)(0时，有且||0zz所以因此,,),()(3是内连续且有原函数在区域若引理cDDzFDzf则的逐段光滑曲线与内连接,D证明且的方程为为光滑曲线设,c则因为所以2K3K1nK2nKD11K231nnC定理的证明Cauchy使得,0,1c).()(11zFKzf内有原函数在存在有限个圆盘使得得由引理2.3所以得由引理构成一条闭折线，所以由于2.11kk.)(关内与路径无内解析，则复线积分在在是单连通域，如果推论DDzfD?)(无关吗内与路径在内解析，那么复线积分在是多连通域，如果问题DDzfD.:不一定答0C1C2C3C.)()(内有原函数在内解析，则在是单连通域，如果推论DzfDzfD则上解析在如果远保持在左手边内部永的正向移动时区域沿边界曲线内部曲线而且所有这些曲线都在域内的外区中每一条都在其余曲线曲线组成闭曲线有限条由曲线是复连通区域，其边界设积分定理复连通区域的,)(..,,,,,,,JordanCauchy0110DzfDcccccccDcDnn或.),2,1,0(的方向为逆时针方向其中nkckac计算积分例1.,Jordan,方向为逆时针方向闭曲线的逐段光滑是一条不通过是正整数其中acn解的外面在曲线)1(ca的内部在曲线)2(caac)2()1()为整数n1z计算积分例2.1的光滑曲线到是从其中zc解.,,在负实轴上沿认为为负实数时当如图所示作支割线zz.ln为对数函数的主值支其中z1ABCDEzF1一般c0zr§2.柯西积分公式.,,)(0内一条简单闭曲线为内解析在是一个单连通区域，设DcDzDzfDD问题：所以似乎应有时，由于),()(00zfzfr0c1c2czcD则上解析在如果保持在左手边内部永远的正向移动时区域沿边界曲线内部所有这些曲线都在曲线而且的外区域内中每一条都在其余曲线曲线组成闭曲线由有限条逐段光滑线是一个区域，其边界曲设定理,,)(..,,,,,,,Jordan4.10110DzDzfDcccccccDcDnn柯西积分公式证明由于所以0c1c2czcD,0,0)(存在连续，所以对任意在点由于zf时，有使得当||z则所以如果,即所以那么如果问题,1Dz0:答)()(21zfdzfic?)(21cdzfi.:可以答应用则对函数条件上满足柯西积分定理的在闭区域若)()(,)(0zfzzDzf柯西积分公式得?CauchyCauchy2积分定理积分公式推出你能利用问题则上解析在如果保持在左手边内部永远的正向移动时区域沿边界曲线内部所有这些曲线都在曲线而且的外区域内中每一条都在其余曲线曲线组成闭曲线由有限条逐段光滑线是一个区域，其边界曲设定理,,)(..,,,,,,,Jordan4.20110DzDzfDcccccccDcDnn0c1c2czDdd2证明.|)(|max,zfMLccz的长为设有则对任何再假设,,||0cdh时，所以当0h即因此.用归纳法可以完成证明.)()(内有无穷阶导数在内解析，则在区域如果推论DzfDzf则时，使得当正数上解析且存在在圆盘设不等式,|)(|),(}|:|{),()(CauchyMzfraUzMRazzRaUzf证明.0Rr假设因为所以.便得结论令Rr.f(z)被称作整函数上解析的函数在定义C.有界整函数必为常数定理Liouville.|)(|,,)(MzfCzzf并且对于所有是整函数设z由于对任意复数证明,}|:|{),()(上解析在任何圆盘RzRzUf所以.0)(,zfR得令.)(为常数所以zf0c1c2cDaR.)(0,)(,Jordan)(Morera内解析在则有闭曲线内任意逐段光滑内连续，且对在区域设定理DzfdzzfcDDzfc证明,0)(dzzf).()(2.2zFGzf内存在原函数在可证所以类似于引理,时由于当Gz,)(内解析在所以Gzf.)(可导点在从而azf.)(内解析在所以Dzf，有内任意三角形是凸集且对由于GG.),(,0,DRaUGRDa使得),()(zfzF,内任意一点是由于点Da.Morera立即可中任一三角形的周界成只需对区域定理中的条件可减弱为注：Do112计算积分例1.10向曲线，方向为逆时针方在其内部的简单光滑闭，是包含解方法一方法二411c2c计算积分例2解所以o0z0rrR练习因为所以,0rr对于.是常数.03的结论知此常数为由习题)5(.11)(4zzf设内解析，在则1||)(zzf时，所以当1r为常数|11|max)(4||zrMrz114r,1)(4rrrrM0)(limrrMr所以),1(0)(rrF从而内解析区域单连通在和)()()(Dzgzf为其原函数内解析且在)()(zgzfDii1BCEAOOA1)1()2(ii1AOFG)3(ii1AO1c2c)4(B.11)1()2(方法一21o方法二21c2c)3(1)4(210z0rrrK1rK1rR0z0rrrK1rK1rRzc)1(RDzcRRCrrCzDdd2c