复变函数与积分变换课件(版)43_泰勒级数

1第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理二、将函数展开为泰勒级数的方法2第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数z0DC一、泰勒(Taylor)定理,)()(00nnnzzazf则当时，有Rzz||0定理设函数在区域D内解析，)(zfC为D的边界，,0Dz,||min0zzRCz.)(!10)(zfnann其中，证明(略)R.d)()(2110lnzzzzfiπl为D内包围点的z0的任意一条闭曲线。l(进入证明?)3第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理注(1)为什么只能在圆域上展开为幂级数，Rzz||0z0RDC而不是在整个解析区域D上展开？回答这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：幂级数的收敛域必须是圆域。幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。4第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。na方法一101010)()()(nnzzazzaazf,)()(1010nnnnzzazza,)()(!0)(0)(zpzzanzfnn,!)(0)(nnanzf.)(!10)(zfnann5第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。na方法二.)(!1d)()(210)(10zfnzzzzfiπanlnn20110010)()()()(zzazzazzzfnnn,10nnazzannzzaazf)()(00z0RDCl,020naiπlnzzzzfd)()(106第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理注(3)对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数在点展开为幂级数。比如zzf11)(0z方法一利用已知的结果(§4.2):方法二利用泰勒定理:.)1||(,1112zzzz方法三利用长除法。.1!)0()(nfann(长除法)7第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理注(4)对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？可以知道。函数在点展开为泰勒级数，其收敛半径)(zf0z结论等于从点到的最近一个奇点的距离。0zz~)(zf(1)幂级数在收敛圆内解析，因此奇点不可能理由z~在收敛圆内；(2)奇点也不可能在收敛圆外，不然收敛半径z~还可以扩大，故奇点只能在收敛圆周上。z~8第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法.!)0()(nfann利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数在点展开为幂级数。例zzfe)(0z解,1)0(0)(ezznf,!1!)0()(nnfann.||z9第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法.!)0()(nfann利用泰勒定理，直接计算展开系数02)!2()1(cosnnnnzz012)!12()1(sinnnnnzz同理可得.||z,!4!2142zz,!5!353zzz.||z10第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数二、将函数展开为泰勒级数的方法2.间接展开法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式,!3!21!032ennzzzznz.||z,111320zzzzznn.1||z11第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数.2|1|iR故收敛半径函数有奇点解)(zf,1z函数有奇点故收敛半径)(zf.2|1|iR,1znniizi0111z11(1)iizi11111,)1()(01nnniiz.2||iz(2)'zz11)1(12111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin.2||iz)()1(1izi12第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数zzfzd)(001,1)1()0()(nnnznfzfzzf11)((1)解将函数分别在点展开为幂级数。)1(ln)(zzf例1,0zz)(11z,)1(0nnnz.1||z,d)1(00][nznnzz01,1)1()(nnnznzf.1||z0013第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数zzfzd)(0011,)1(112)1()1()(nnnnznfzfzzf11)((2)解将函数分别在点展开为幂级数。)1(ln)(zzf例1,0zz)1(21z.2|1|z,d)1(2)1(001][nznnnzz02)1()1(21nnnnz2/)1(1121z,)1(2)1(01nnnnz11011,)1(112)1(2ln)(nnnnznzf.2|1|z14第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数(1)21z21121z,201nnnz.2||z解12)(2zCzBzAzf,12212zzz122zz(2))(122zz,)1()2(02nnnzz.1||z,)1()1(22)(0120201nnnnnnnnnzzzzf.1||z15第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数,4sin!)2()(0nnnznπnzf00!)1(21!)1(21nnnnnnzniiznii解izfziziz2)(eee)(21)1()1(eezizii.||z0!)1()1(21nnnnzniii.||z16第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数)1sin(1cos)1cos(1sinzz02)!2()1()1(1sinnnnnz)2cos1(21sin2zz解将函数在点展开为幂级数。zzf2sin)(例0z][)!6)2(!4)2(!2)2(1(121642zzz,!62)2(!42)2(!22)2(642zzz.||z将函数在点展开为幂级数。zzfsin)(例1z,)!12()1()1(1cos120nznnn.|1|z解)]1(1sin[sinzz17第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数解211)1(1)(ezzfz,!331!23)(32eeeezzzzf.1||z,)1(1)(2zzf,0)()()1(2zfzfz,0)()32()()1(2zfzzfz,0)(2)()54()()1(2zfzfzzfz,,13)0(,3)0(,)0(,)0(eeeeffff将函数在点展开为幂级数。例zzf11e)(0z*18第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数泰勒级数的应用举例——计算斐波拉契数列的通项1.斐波拉契LeonardoFibonacci，约1170~约1240，意大利业余数学家。3.斐波拉契数列2.兔子问题一对(超级)小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又可生一对(超级)小兔，问n个月后，共可得到多少对兔子？}.,21,13,8,5,3,2,1,1{}{na,,1,11221nnnaaaaa.),3,2,1(n19第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数4.计算斐波拉契数列的通项(1)变换z令,)(133221nnnzazazazazf由,12nnnaaa,22122nnnnnnzazaza有,12111122nnnnnnnnnzazzazza,)(])([)(21221zfzzazfzzazazf将代入上式并求解得121aa.1)(2zzzzf泰勒级数的应用举例——计算斐波拉契数列的通项20第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数4.计算斐波拉契数列的通项(2)泰勒级数展开21)(zzzzf,11511151zz其中，,618.0251,618.125105)(nnnnzzf,51nnnnz1.618.01||z5nnna泰勒级数的应用举例——计算斐波拉契数列的通项,52)51()51(nnn.),3,2,1(n21第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数DCz0作圆G，附：泰勒定理的证明RzrGz由柯西积分公式有Γζzζζfπizf,d)(21)(由有||||00zzzz,)()(0100nnnzzzz0001111zzzzzzzzΓnnnζζfzzzπizf.d)()()(21)(0100z如图以为圆心，为半径z0)(Rrr证明设z为G内任意一点。22第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数附：泰勒定理的证明证明Γnnnζζfzzzπizfd)()()(21)(0100zΓNNnnnzRζζfzzzπi)(d)()()(2110100zΓNnnnNζζfzzzπizR.d)()()(21)(100z其中，na.0)(limzRNN下面需证明ΓNnnNnzRzzζzζfπi)()(d)()(2101010z交换次序23第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数DCz0zrGz附：泰勒定理的证明证明ΓNnnnNζζfzzzπizR.d)()()(21)(100z由在D内解析，)(zf)(zf连续，)(zf有界，即,|)(|Mzf,1||||||000qrzzzzzz又ΓNnnnNsζfzzzπzR.d|)(|||||21|)(|100z有qMqN1NnnrπMqrπ2121N.0(返回)24第四章解析函数的级数表示§4.3泰勒级数附：分式函数的长除法z112zz32zzz2zz11z2z3znzzzz2111,11zznz11以为例：(分子与分母均按升幂排列)当时，1||z,0lim1nnznzzzz2111.0nnz(返回)