复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]2复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iyi²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一点k并作和式Sn=∑f(𝑘)nk−1(zk-zk-1)=∑f(𝑘)nk−1∆zk记∆zk=zk-zk-1，弧段zk-1zk的长度δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当δ→0时，不论对c的分发即k的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：∫f(z)dzc=limδ0∑f(𝑘)nk−1∆zk设C负方向(即B到A的积分记作)∫f(z)dzc−.当C为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dzc(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dzc2)∫2zdzc,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，∫dzc=0.3∵f(z)=1Sn=∑f(𝑘)nk−1(zk-zk-1)=b-a∴limn0Sn=b-a,即1)∫dzc=b-a.(2)当C为闭曲线时，∫dzc=0.f(z)=2z;沿C连续，则积分∫zdzc存在，设k=zk-1,则∑1=∑Znk−1（k−1）(zk-zk-1)有可设k=zk，则∑2=∑Znk−1（k−1）(zk-zk-1)因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以Sn=(∑1+∑2)=∑k−1nzk(zk2−zk−12)=b2-a2∴∫2zdzc=b2-a21.2定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入∫f(z)dzc得：∫f(z)dzc=∫udxc-vdy+i∫vdxc+udy再设z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)∫f(z)dzc=∫f(z(t))z(t)́dtβα参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)例题1：∫z2dz3+i0积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t∫z2dz3+i0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt10=(3+i)3∫t2dt10=6+263i例题2：沿曲线y=x2计算∫（x2+iy）dz1+i04解：参数方程{x=ty=t2或z=t+it2(0≤t≤1)∫(x2+iy)dz1+i0=∫（t2+it2）(1+2it)dt10=(1+i)[∫(t2dt)dt10+2i∫t3dt10]=-16+56i1.3定义衍生2重要积分结果：z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：∮dz(z−z0)n+1c=∫ireiθei（n+1）θrn+12π0dθ=irn∫e−inθ1+i0dθ∮dz(z−z0)n+1c={2πin=00n≠0例题1：∮dzz−2|z|=1例题2：∮dzz−12|z|=1解：=0解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：∮f(z)dzc=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C15所围成的多连通区域G全含于D则有：∮f(z)dzΓ=∮f(z)dzc+∮f(z)dzc1=0即∮f(z)dzc=∮f(z)dzc1推论：∮f(z)dzc=∑∮f(z)dzcknk=1例题：∮2z−1z2−zdzcC为包含0和1的正向简单曲线。解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。∮2z−1z2−zdzc=∮2z−1z(1−z)dzc1+∮2z−1z(1−z)dzc2=∮1z−1+1zdzc1+∮1z−1+1zdzc2=∮1z−1dzc1+∮1zdzc1+∮1z−1dzc2+∮1zdzc2=0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即∫f()cd=∫f()z1z0d这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分∫f()z1z0d在B内确定6了一个单值函数F(z),即F(z)=∫f()z1z0d所以有若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且F(z)́=f(z).根据定理2.2和2.4可得∫f(𝑧)z1z0d𝑧=F(z1)-F(z0).例题：求∫zcosz10d𝑧解：函数zcosz在全平面内解析∴∫zcosz10d𝑧=zsinz|0i-∫sinz10d𝑧=isini+cosz|0i=isini+cosi-1=ie−1−12i+e−1+12i-1=e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数f(z)z−z0在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般不为零。取z0位中心，以δ0为半径的正向圆周|z−z0|=δ位积分曲线cδ，由于f(z)的连续性，所以∫f(z)z−z0dzc=∫f(z)z−z0dzcδ=2πif(z0)2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：f(z0)=12πi∮f(z)z−z0dz例题：1）∮sinzzdz|z|=22）∮z(9−z2)(z+i)dz|z|=2解：=2πisinz|z=0=0解：=∮z9−z2z−(−i)dz|z|=27=2πiz9−z2|z=-i=π52.6解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为f(n)(z0)=n!2πi∮f(z)(z−z0)n+1dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：∮ezz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi∙14!(ez)(4)|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0，则称φ(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。3.1求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的8偏导数∂u∂x=∂v∂y，两边对y积分得v=∫∂u∂xdy+g(x).再由∂u∂y=−∂v∂x又得∂∂x∫∂v∂xdy+g(x)́=-∂u∂y从而g(x)=∫[−∂u∂y−∂∂x∫∂u∂xdy]dx+Cv=∫∂u∂xdy+∫[−∂u∂y−∂∂x∫∂u∂xdy]dx+C同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定积分法：因为f(z)́=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVX所以f(z)=∫U(z)dz+cf(z)=∫V(z)dz+c3.3线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=∂v∂xdx+∂v∂ydy=-∂u∂ydx+∫∂u∂xdy故虚部为v=∫−∂u∂ydx+（x，y）（x0，y0，）∂u∂xdy+C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R条件∂u∂x=2x+y∂u∂y=-2y+x∂2u∂x2=2∂2u∂y2=-2所以满足拉普拉斯方程，有∂v∂x=−∂u∂y=2y-x∂v∂y=∂u∂x=2x+y所以v=∫(2y−x)dx+φ(y)=2xy-x22+φ(y)∂v∂y=2x+φ(y)́=2x+yφ(y)́=yφ(y)=y22+cv(x,y)=2xy-x22+y22+c9f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z2+iC4.留数求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0|z−z0|δ,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c-1或者Res[f(z),z0]=12πi∮f(z)dzcC为0|z−z0|δ4.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2…zn,∮f(z)dzc=2πi∑Res[f(z),zk]nk=1其中zk表示函数f(z)的孤立奇点4.2孤立奇点：定义：如果函数𝑓(𝑧)在z0不解析，但在z0某个去心邻域0|z−z0|δ内解析，则称z0为f(z)的孤立奇点。例如1z、e1z都是以z=0为孤立奇点函数1(z+1)（z+2）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数f(z)可展开为洛朗级数𝑓(𝑧)=∑cn∞n=−∞（z−z0）n洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型：4.2.1可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切n0有cn=0，则称z0是f(z)的可去奇点因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.....)故c-1=0。遇到函数f(z)的10奇点类型是可去奇点，一般对函数𝑓(𝑧)求积分一般为零∮f(z)dzc=2πi∑Res[f(z),zk]nk=1=0。判断可去奇点方法：⑴函数𝑓(𝑧)在某个去心邻域0|z−z0|δ内解析，则z0是f(z)的可去奇点的充要条件是存在极限limz→z0f（z）=c0，其中c0是一复常数;⑵在⑴的假设下，z0是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r≤δ，使得f(z)在0|z−z0|r内有界4.2.2极点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数m，c-m≠0，而当n-m时c-n=0则称z0是f(z)的m级极点。其洛朗展开式是：f(z)=c−m（z−z0）m+c−m+1（z−z0）m+1+…+c−1z−z0+c0+c1(z-z0)n+m+…+c0(z-z0)n+…这里c-m≠0，于是在0|z−z0|δ有f(z)=[c−m（z−z0）m+c−m+1（z−z0）m+1+…+c−1z−z0+c0+c1(z-z0)n+m+…+c0(z-z0)n+…]=1(z−z0)mφ(z).*φ(z)一个在0|z−z0|δ解析，同时φ(z)≠0，则z0是f(z)的m级极点。判断定理：（1）f(z)在z0的去心邻域0|z−z0|δ解析，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0是f