复变论文1

Laplace变换在信号系统中的简单应用自动化14-6陈宗超24号设函数()ft当0t时有定义，而且积分0()stftedt（s是一个复参量）在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为0()()stFsftedt.（4.1）我们称（4.1）式为函数()ft的Laplace变换式.记为()FsL[()]ft()Fs称为()ft的Laplace变换（或称为象函数）.若()Fs是()ft的Laplace变换，则称()ft为()Fs的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为()ft=-1L[()]Fs.由（4.1）式可以看出，()ft(0)t的Laplace变换，实际上就是()()tftute的Fourier变换.下面我们通过一个例题简单展示一下Laplace变换在周期信号中的应用.例1求周期三角波()22ttbftbtbtb0且(2)()ftbft的Laplace变换.解：根据Fourier变换的思路及形式，以及结合前述章节关于Laplace变换在信号处理中的理论有:2bbtb图5()ft02462(1)0242[()]()()()()()stbbbkbststststbbkbLftftedtftedtftedtftedtftedt2(1)20=()kbstkbkftedt令2tkb,则2(1)22(2)2200()(2)=()kbbbstskbkbskbftedtfkbedefed，而2222001()(2)(1)bbbstststbsbftedttedtbtedtes所以22220000[()]()()()bbkbsststkbskkLfteftedtftedte=由于当Re()0s时，22||1bsbee，所以2201()1kbsbskee，从而222220111[()]()(1)11bstbsbsbsftftedteees=L2221(1)1(1)(1)(1)(1)bsbsbsbsbseeseese==一般地，以T为周期的函数()ft，即()()(0)ftTftt，当()ft在一个周期上是分段连续时，则有01[()]()(Re()0)1TstsTftftedtseL成立.这就是求周期函数的Laplace变换公式.Laplace变换可看成是Fourier变换在复变数域中的推广.与Fourier变换类似，对于Laplace变换式中每一对正、负的指数分量决定一项变幅度的“正弦振荡”，其幅度也是一无穷小量，且按指数规律随时间变化.与Fourier变换中一样，这些振荡的频率是连续的，并且分布及于无穷.通常称s为复频率，并把()Fs看成是信号的复频谱.例2因果信号1()()tfteut，求其Laplace变换.解：()()1001()[1lim]()sttsttjtBteFseedteess可见，对于因果信号，仅当Re[]s时，其拉氏变换存在.收敛域如图所示.Laplace变换建立了信号在时域和复频域之间的对应关系，为今后更方便对系统进行分析，在此了解其一些基本性质线性性质：设1122()(),()()LftFsLftFs,1a，2a为任意常数，则11221222()()()()LaftaftaFsaFs.尺度变换：设()()LftFs，则当0a时有1()sLfatFaa时间平移：设()()LftFs，则00()()stLfttFse1,Re[]ss图6频率平移：设()()LftFs，则00()()stLfteFss时域微分：设()()LftFs，则12(1)()()(0)(0)(0)nnnnnndftLsFssfsffdtL.如果函数为有始函数，上式可简化为()()(),()nnndftdftLsFsLsFsdtdt.时域积分：设()()LftFs，则0()()tFsLfds.复频域微分与积分：设()()LftFs，则2()()FsLtfts，()()sftLFsdst.对参变量微分与积分：设(,)(,)LftaFsa,a为参数,则(,)(,)ftaFsaLaa及1122(,)(,)aaaaLftadaFsada.初值定理：设函数()ft及导数()ft存在，并有Laplace变换，则()ft的初值为0(0)lim()lim()ttfftsFs.终值定理：设函数()ft及导数()ft存在，并有Laplace变换，且()Fs的所有极点都位于s左半平面内，则ft的终值为0limlimtsfftsFs.实频域卷积定理（实卷积定理）设1122()(),()()LftFsLftFs则1212()*()()*()LftftFsFs或11212()*()()*()LFsFsftft.复频域卷积定理（复卷积定理）设1122()(),()()LftFsLftFs,则12121()*()()*()2LftftFsFsj.通过变换将时域中的积分微分方程变成复频域中的代数方程，在复频域中进行代数运算后则可得到系统响应的复频域解，将此解再经反变换则得到最终的时域解.在这种变换过程中，反应系统储能的初始条件可自动引入，运算较为简单，所得的响应为系统全响应.从信号分解的角度看Laplace变换（s域模型的建立）,在Laplace变换中激励被分解为无穷多个具有ste形式的指数分量之和.如果能求得系统对每一指数分量所产生的响应，叠加后再变换到时域，同样可以求得零状态响应.对于具体的电路系统，不需列写电路的微分方程也可以求解.方法是建立电路的s域模型（即所有电量用其Laplace变换表示，元件的约束用其运算阻抗表示，储能元件的初始储能用等效源的Laplace变换表示）.这样由基尔霍夫定律的运算形式，可以由s域电路模型直接列写出s域的方程来求解.