高等数学试题(第六版上册)

1科目：高等数学考试形式：闭卷考试时间:120分钟系别、班级：姓名：学号：一、一、选择题（每小题3分，共15分）1、下列函数在给定的自变量变化过程中为无穷小的是__________.A、xx1sin0xB、xxsin10xC、xxcosxD、xxcos10x2、已知函数00222xxxaexfx0x在连续，则a__________.A、0B、eC、1D、23、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是.A、xxytanB、325xyC、2xeyD、12xxy4、设xf是连续函数，且为偶函数，则在对称区间aa,上的定积分aadxxf__________.A、0B、02adxxfC、0adxxfD、adxxf05、微分方程yyyxy25是.A、可分离变量方程B、二阶微分方程C、一阶齐次线性方程D、一阶非齐次线性方程二、填空题（每小题3分，共15分）题目一二三四五六总分标准分数1515421684100实得分数评卷人21、如果12sin3lim0xmxx，则m___________________.2、已知hfhffh233lim,230则___________________.3、已知Cxdxxfsin,则dxefexx1___________________.4、dxxxsin132___________________.5、微分方程xyy2的通解是__________________.三、计算题（每小题6分，共42分）1、求21cos0limxdtextx2、设82limxxaxax，且0a，求常数a的值.3、由方程elnsin2xyyxx确定y是x的隐函数，求y.装订线考生答题不得超过此线34、设xf存在，求函数xfyln的二阶导数22dxyd.5、求2211tanxxdxx6、求exdxx1ln47、设函数2xxexf，求dxxf412.四、应用题（第1题7分，第2题9分，共16分）1、某窗户的形状为半圆形置于矩形之上，若此窗的周长为一定值l，试确定半圆的半径r为多少时，使能通过窗户的光线最为充足。2、计算由曲线12,22xyxy所围成的平面图形的面积，并求该图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积。装订线考生答题不得超过此线5五、证明题（8分）设0ba，证明：bbabaabaln.六、综合题（4分）设0x时)(xf可微，若xdttfxxf011)(　，求xf.6（参考答案及评分标准）、一、选择题（每小题3分，共15分）1、下列函数在给定的自变量变化过程中为无穷小的是_____A_____.A、xx1sin0xB、xxsin10xC、xxcosxD、xxcos10x2、已知函数00222xxxaexfx0x在连续，则a_____D_____.A、0B、eC、1D、23、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是C.A、xxytanB、325xyC、2xeyD、12xxy4、设xf是连续函数，且为偶函数，则在对称区间aa,上的定积分aadxxf_____B_____.A、0B、02adxxfC、0adxxfD、adxxf05、微分方程yyyxy25是A.A、可分离变量方程B、二阶微分方程C、一阶齐次线性方程D、一阶非齐次线性方程二、填空题（每小题3分，共15分）2、如果12sin3lim0xmxx，则m32.2、已知hfhffh233lim,230则1.73、已知Cxdxxfsin,则dxefexx1Cex1sin.4、dxxxsin13232.5、微分方程xyy2的通解是2xCe.三、计算题（每小题6分，共42分）1、求21cos0limxdtextx解：21cos0limxdtextx2cosx10limxdtetxxxexx2sinlimcos04分2limcos0xxe.xxxsinlim02e2分2、设82limxxaxax，且0a，求常数a的值.解：xxaxax2limxaxaaaxxaxa3331lim2.5分axaxxe3lim1.5分83ae1分故2lna1分3、由方程elnsin2xyyxx确定y是x的隐函数，求y.x解：方程两边关于求导得：1ln2cos2xyexxyyxyxx4.5分xxexxyeyxxyxyxyln2cos221.5分4、设xf存在，求函数xfyln的二阶导数22dxyd.解：xfxfxfdxdy1ln3分82222xfxfxfxfxfxfdxyd3分5、求2211tanxxdxx解：2211tanxxdxx2221211tanxxdx2分2211tanxdx2分Cx21cosln2分6、求exdxx1ln解：exdxx1lnexdx12ln211分eexdxxx112ln212分exe1222212分1412e1分7、设函数2xxexf，求dxxf412.解：令t=x-2，则x=t+2，dx=dt1分当x=1时，t=-1；当x=4时，t=24121)()2(dttfdxxf2分=21212)(2122xdedxxexx1分分分1)(211][2114212eeex四、应用题（第1题7分，第2题9分，共16分）1、某窗户的形状为半圆形置于矩形之上，若此窗的周长为一定值l，试确定半圆的半径r为多少时，使能通过窗户的光线最为充足。解：设窗户的面积为S,矩形的高为h,则9rhrl2222rrlh22212212rlrrrhS3分rlS4令40lrS得唯一驻点2分当04,040srlSlr时当时所以4lr为极大值点，也是唯一的极值点，从而也是最大值点。故当4lr时，窗户的面积S最大，此时通过窗户的光线最为充足。2分2、计算由曲线12,22xyxy所围成的平面图形的面积，并求该图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积。解：曲线所围成的图形如右图：由1222xyxy得交点)1,1(，)1,1(1分选取x为积分变量，则积分区间为1,1，面积元素为dxxxds)212(221分所求图形的面积为：dxxxS)212(21121分＝dxx)221(2210＝102)1(dxx1分10＝1033xx＝321分图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：10121)12(dyyydyV2分＝1212102)(21yyy1分＝)21410(2＝41分五、证明题（8分）设0ba，证明：bbabaabaln.证：设xxfln，则内可导，上连续，在在ababxf,,由拉格朗日中值定理，得bafbfafab4分xxf11fbaba1lnln当0ba时，ba1110babbabaaba3分所以，bbabaabalnln即bbabaabaln1分六、综合题（4分）11设0x时)(xf可微，若xdttfxxf011)(　，求xf.解：由xdttfxxf011)(　得xdttfxfx01　1分两端对x求导，得xfxfxxf11.5分xxfx10时，当0.5分Cxxfln1分