复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用1

复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰创建时间：2008-7-2421时5分复化辛卜生（辛甫生）公式在公路中线坐标计算中的应用【摘要】在现有公路中线坐标计算的公式中，对于直线、圆曲线、缓和曲线(或卵形曲线)等中桩坐标的计算需用切线支距公式等不同的公式。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同线形的坐标计算所需多个公式问题，而且计算的方向完全是可逆的，其计算精度也可根据需要自行判断决定。【关键词】辛卜生公式中线坐标计算应用在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式等不同公式来计算直线或曲线上各点的坐标。但当计算不同的线形时就需用不同的计算公式，这就为计算带来不便。尤其是在设有较小圆曲线半径（即相对于半径越小而缓和曲线越长时）的缓和曲线（或卵形曲线）上的坐标计算时，如公式选用不当或切线支距公式所带项数较少时就会出现较大的计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型和直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果也完全能保证施工放样时坐标计算的精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线各种线形坐标的通用公式。下面笔者就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析（本文以卵形曲线坐标的计算为例）。一、复化辛卜生公式公式（1）曲线元起点X坐标曲线元起点Y坐标曲线元起点切线方位角曲线元上2n等分点处的切线方位角曲线元上n等分点处的切线方位角曲线元上待求点处切线方位角k+12XAYAaAaaKai{X=XA+H6(cosaA+4Σcosa+2Σcosak+cosai)k+12n-1k=0n-1k=1n-1k=1n-1k=0k+12Y=YA+H6(sinaA+4Σsina+2Σsinak+sinai)XA—曲线元起点X坐标YA—曲线元起点Y坐标aA—曲线元起点切线方位角aK+21—曲线元上2n等分点处的切线方位角aK—曲线元上n等分点处的切线方位角复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰创建时间：2008-7-2421时5分ai—曲线元上待求点处切线方位角，可用如下3种方法计算：1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2．利用曲线元上已知推算起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3．利用切线角公式计算注1：aA为推算起点的切线方位角，以实际推算方向为前进方向，而不是指路线设计的前进方向。式中：H=│Zi-ZA│÷nai=aA±90(ρi+ρA)(Zi-ZA)÷π(公式2)注2：当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为左转时取-当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为右转时取+当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为左转时取+当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为右转时取-ρi=ρA+(ρB-ρA)(Zi-ZA)÷(ZB-ZA)(公式3)Zi—待求点桩号ZA—曲线元推算起点桩号ZB—曲线元终点桩号Ρi—曲线元上待求点曲率ρA—曲线元推算起点曲率ρB—曲线元终点曲率二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（相关参数见图一、图二、图三，其计算略。），相关设计数据见表一。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标：复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰创建时间：2008-7-2421时5分HY1+160YH2+384.032R1-50LS-60A3-67.082R2-75HZ'+368.213YH1+223.715HY2+271.881HZAK0+444.032LS-70A1-59.161ZHAK0+09092°17'26.2108°12'02.10°00'00A2-84.999x=9890.293y=10006.838图一表一：卵形曲线相关设计数据主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）XY°’”ZHAK0+0909987.40310059.378921726.2HY1AK0+1609968.98110125.3411322351.6YH1AK0+223.7159910.60310136.7912052433.6HY2AK0+271.8819880.43810100.9042512418.5YH2AK0+384.0329922.31610007.9093370454.2HZAK0+444.0329981.36310000.00000000205°24'33.6YH1+223.715YH2+384.032HY2+271.881cHZ'+368.213BXa1108°12'02.1a3MYDa2图二R1-50A2-84.999108°12'02.1HY2+271.881YH1+223.715HZ'+368.213R2-75图三（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标（逆向），n取2等分用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线曲率及切线方位角:ρ+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)×(247.798-271.881)÷(223.715-271.881)=0.016666667a+247.798=71°24’18.5”+90×(0.016666667+1÷75)×(247.798-271.881)÷π复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰创建时间：2008-7-2421时5分=50°42’26.37”其它各点依次代入公式计算，结果见表二：表二：曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角°’”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角°’”公式(3)计算内插法计算公式(3)计算内插法计算+271.8810.013333333=1/75712418.5+259.8400.0150.015613752.2+247.7980.0166666670.016666667504226.4+235.7570.0183333330.018333333338380.96+223.7150.02=1/50252436R2-75R1-50ZB+223.71538°38'0.9661°37'52.2250°42'26.37(25°24'33.6)71°24'18.5ZA+271.88125°24'35.99切线方位角图示1将表中计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)+2cos50°42’26.37”+cos25°24’35.99”)=9910.5975(设计值：9910.603)Y=10100.904+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”)+2sin50°42’26.37”+sin25°24’35.99”)=10136.7945(设计值：10136.791)注2：图示中括号内方位角为设计给定值（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标（顺向），n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线曲率及方位角:ρ+247.798=1÷50-(1÷75-1÷50)×(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰创建时间：2008-7-2421时5分=0.0166666667a+247.798=205°24’33.6”+90×(0.016666667+1÷50)×(247.798-223.715)÷π=230°42’23.98”其它各点依次代入公式计算，结果见表三：表三：曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角°’”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角°’”公式(3)计算内插法计算公式(3)计算内插法计算+223.7150.02=1/502052433.6+235.7570.0183333330.01833333332183758.6+247.7980.0166666660.0166666662304224.0+259.8400.0150.0152413749.8+271.8810.013333333=1/752512418.5R2-75R1-50ZA+223.715218°37'58.57241°37'49.83230°42'23.98205°24'33.6(251°24'18.5)ZB+271.881251°24'16.11切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)+2cos230°42’23.98”+cos251°24’16.11”)=9880.4431(设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)+2sin230°42’23.98”+sin251°24’16.11”)=10100.9008(设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。（三）前面正、反向的计算均是从卵形曲线部分推算的，现在我们以卵形曲线所在完整缓和曲线的推算起点HZ’=+368.213点来推算终点+223.715和中间点+271.881的坐标缓和曲线切线角计算公式：β=90L2÷(πRLS)则有方位角：ai=aA±β=aA±90L2÷(πRLS)公式(4)复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰创建时间：2008-7-2421时5分其中：R=50LS=368.213-223.715=144.498注3：公式（4）中±号判断法则见注21.计算Zi=+223.715中桩坐标表四：曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩号n等分点处曲线曲率n等分点处切线方位角°’”2n等分点处曲线曲率2n等分点处切线方位角°’”公式(3)计算内插法计算公式(2)计算公式(4)计算公式(3)计算内插法计算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130（直线上）1081202.1+350.1510.00250.00251065425.161065425.22+332.0890.0050.0051030134.331030134.58+314.0260.00750.0075963328.83963328.64+295.9640.010.01873009.9787309.97+277.9020.01250.0125755137.22755137.54+259.8400.0150.015613750.58613751.35+241.7770.01750.0175444848.25444847.8+223.7150.02=1/50252433.58252433.5871°24'16.0980°01'44.0287°30'09.9793°49'38.4299°00'05.6103°01'34.58105°54'02.97107°37'32.49R1-50108°12'02.1+271.881+223.715HZ'+368.213R2-75切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715)÷4÷6×(cos108°12’02.1”+4×(cos106°54’25.22”+cos96°33’28.64”+cos75°51’37.54”+cos44°48’47.8”)+2×(cos103°01’34.58”+cos87°30’9.97”+