复变函数与积分变换试题-B卷答案

第1页共3页装订线专业:层次：年级：班级：座号：学号：姓名：特别提示：自信考试诚信做人临沂大学2010—2011学年第一学期《复变函数与积分变换》试题（B卷）答案一、填空题（共8题，每空3分，共30分）1．ii2)1(的值为2ln)42(ike，主值为2ln2ie.2．3arg4z；且3||1z所表示的平面点集是区域吗？是，单连域还是多连域？单连域。3．1||43)2(sinCzdzzzze0。4．在映射izw下，集合}arg0,2||1|{zzzD的像集为：}23arg2,2||1|{。5．)2,1,0(2kkz为ztan的1阶极点。6．)34(1zz在iz10处展开成Taylor级数的收敛半径为310。7．)(sin)(tttf的频谱密度函数()F[(1)(1)]1j。8．已知)()(),()(21tutftuetft，其中0001)(tttu，则)()(21tftf)1(te)(tu。二、证明题（共1题，每题12分，共12分）验证xyyxyxu2),(22是调和函数，并求以),(yxu为实部的解析函数)(zf，使iif21)(.解：（1）02,2yyxxyyxxuuuu故),(yxu是调和函数。（2）利用C—R条件，先求出),(yxv的两个偏导数。yxxuyvyxyuxv2222则Cdyyxdxxyyxvyx)22()22(),(),()0,0(xyCdyyxdxx00)22()2(Cyxyx222)2()2()(2222CyxyxixyyxzfCiyixiyix22)()(2(1)iziC由121121)(CiiCiiif故izizf2)1()(三、计算题（共4题，每题8分，共32分）1．Czdzzze2sin，C为正向圆周2||iz.解：令zezfzsin)(，则由高阶求导公式得：原式izezeifizzz2|)cossin(2)0(20第2页共3页装订线专业:层次：年级：班级：座号：学号：姓名：特别提示：自信考试诚信做人2．Czdzze11，C为正向圆周21||z.解:在C内，zez11有本性奇点0z，由留数定理：原式]}0,1[{Re21zesiz在21||0z内将zez11展为Laurent级数：)!1!2111)(1(1221nnzznzzzzzze)!1!31!211(1nz故：1!1!31!211]0,1[Re1enzesz21||1)1(221zzeiidzze3．0cos451cos2d解：由于cos451cos2是偶函数，故00cos451cos2cos451cos2dd原式dcos451cos221令,zei则定积分可化为复积分1||111)2(cos)(251zzzzidzzzzz1||2)2)(12(1zdzzzzzzi令)2)(21(2/)1()(2zzzzzzf则)(zf在1||z内有2个简单极点0z与21z21)2)(21(2/)1(lim]0),([Re20zzzzzfsz2121(1)/21Re[(),]lim2(2)2zzzsfzzz由留数定理知：1||0]2121[2)(ziidzzfi故原式00214．dxxxx)1)(4(cos22解：令)1)(4()(22zzezfzi容易验证)(zf满足若尔当引理)(zf在上半平面有两个简单极点iziz2,21]}2),([Re]),([{Re2)1)(4(22izfsizfsidxxxeix])2)(1())(4([2222izziizziizzeizzei第3页共3页装订线专业:层次：年级：班级：座号：学号：姓名：特别提示：自信考试诚信做人212163)126(2eeieiei原式212163]63[Reeeee四、计算题（共1题，每题12分，共12分）用Laplace变换求解常微分方程：1)0(,0)0(232yyeyyyt解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得))0()0()((3)0()0()0()(223ySySYSyySySSYSSSYySSY1)())0()((3)3()33(211)()133(223SSSSSYSSS)1452(123SSSS2)1)(12(1SSS即111)1(12)(SSSSSSY故1)]([)(1teSYtyL五、证明题（共·题，每题14分，共14分）设)(zf在1||z内解析，在1||z上连续，试证：当1||z时，1||2)1()(21)()||1(dzzfizfz00000010000000001001()()(*)2()111()()()111()()1()1()()2()knnnnnnnknfzkfzdizzzzkkzzzzzzzzzzzzzzzzzzfzfiz证明：对任何，有柯西积分公式由于内，上，所以有，则将其代入（*）式中，得：10100010()10000101()[]()2()1()[()]2()()()()()(**)!1()()[()]2()lim(NnnknnnknNnNnNnnNnknNNNfddzzizfzzdizfzfzzzRznfRzzzdizRz由高阶导数公式得：其中，下面证明000)0.1()0()()NzzzzqzrfzkDkkMkfMRz令，而函数在内解析，从而在上连续，于是在上有界，即存在一个，在上，由表达式得：0010001()000()1()1()()[]2()2112221limlim0lim()0.11()K()()!nnNnkknNnNNnnknNnNNqNNNxNnnnfzzfRzzzdsdszzzMMMqqdsqrrrqMqMqkRzqqfzfzzzn因为，所以在内从而在内有：()0.1(),0,1,2,!nnCfznn令得证命题。4分3分3分2分2分2分2分2分2分2分2分