复变函数与积分变换试题1

复变函数与积分变换试题本试题分两部分，第一部分为选择题，1页至3页，第二部分为非选择题，4页至8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，满分100分，考试时间150分钟。第一部分选择题一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1．复数i258-2516z的辐角为（）A．arctan21B．-arctan21C．π-arctan21D．π+arctan212．方程1Rez2所表示的平面曲线为（）A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线3．复数)5,-isin5-3(cosz的三角表示式为（）A．)54isin,543(cos-＋B．)54isin,543(cos－C．)54isin,543(cos＋D．)54isin,543(cos-－4．设z=cosi，则（）A．Imz=0B．Rez=πC．|z|=0D．argz=π5．复数i3e对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．设w=Ln(1-I),则Imw等于（）A．4－B．1,0,k,42k－C．4D．1,0,k,42k7．函数2zw把Z平面上的扇形区域：2||,03argz0z＜映射成W平面上的区域（）A．4||,032argz0w＜B．4||,03argz0w＜C．2||,032argz0w＜D．2||,03argz0w＜8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分cnazzf1)()(等于（）A．)()!1(2)1(afninB．)(!2afniC．)(2)(aifnD．)(!2)(afnin9．设C为正向圆周｜z+1|=2,n为正整数，则积分cnizdz1)(等于（）A．1B．2πiC．0D．i2110．设C为正向圆周|z|=1，则积分czdz||等于（）A．0B．2πiC．2πD．－2π11．设函数f(z)=zde0，则f（z）等于（）A．1zzezeB．1zzezeC．1zzezeD．1zzeze12．设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则c2dzz1z等于（）A．i2B．i-2C．i-2-D．i2-13．幂级数1n1-nn!z的收敛区域为（）A．|z|0B．|z|C．-1|z|0D．1|z|14．3z是函数f(z)=-3z)3-sin(z的（）A．一阶极点B．可去奇点C．一阶零点D．本性奇点15．z=-1是函数41)(zzcot的（）A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点16．幂极数1nnz(2n)!1)!n（的收敛半径为（）A．0B．1C．2D．＋17．设Q（z）在点z=0处解析，1)-z(zQ(z)f(z),则Res[f(z),0]等于（）A．Q（0）B．－Q（0）C．Q′（0）D．－Q′（0）18．下列积分中，积分值不为零的是（）A．2|1-zC3)dz,2z(zc3为正向圆周｜其中B．5|zCdz,ecz为正向圆周｜其中C．1|zCdz,sinzzc为正向圆周｜其中D．2|zCdz,1-zcoszc为正向圆周｜其中19．映射2zzw2下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（）A．21|1z|B．21|1z|C．21|z|D．21|z|20．下列映射中，把角形域4argz0保角映射成单位圆内部|w|1的为（）A．1-z1zw44B．1z1zw44＋－C．izizw44＋－D．i-zizw44第二部分非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。21．复数484zi的模|z|＝_____________________。22．设100i)(1z，则Imz＝______________________。23．设z=i2e，则argz＝____________________________。24．f（z）的可导处为_______________________________。25．方程Inz=i3的解为_________________________。26．设C为正向圆周|z|=1，则c)dzzz1(=___________________________。27．设C为正向圆周|z－i|=21,则积分c2zdzi)-z(ze=___________________。28．设C为正向圆周|ζ|=2，cdz-3sinf(z)，其中|z|2，则f′(1)=___________________。29．幂极数1nnnznn!的收敛半径为________________________。30．函数f(z)=]1)(z11z1[1z15在点z=0处的留数为__________________。三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．求22y-2xyxu的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。32．计算积分cdz|z|zzI的值，其中C为正向圆周|z|=2。33．试求函数f(z)=dez0-2在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。34．计算积分c22zdz3i)(zi)-(zeI的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）35．利用留数求积分dx910xxcosxI240＝的值。36．设Z平面上的区域为2|i-z|,2|iz|D：，试求下列保角映射（1）(z)fw11把D映射成W1平面上的角形域43argw4D11＜：；（2）)(wfw121把D1映射成W2平面上的第一象限2argw0D22＜：;（3）w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面：Imw0;（4）w=f(z)把D映射成G。37．积分变换（1）设)F(,a是一个实数，证明（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：1,y'-2y;y'-1.(0)y'0,y(0)复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1．B2．D3．C4．A5．A6．B7．A8．D9．C10．A11．D12．C13．B14．B15．C16．D17．B18．D19．A20．C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.822．023．124．z=025．),3i(121z或3ie26．4πi27．－2π(π+i)28．i,33或3cos3i229．E30．6三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．解1：2y-2xyu2y2xxu，，由C－R条件，有yu-xv,xxyv，(x)y2xy2y)dy(2xdyxvv2。（2分）再由yu-2y-2x(x)'2yxu，得-2x(x)'，于是C-x(x)2，Cx-y2xyv22。（4分）由1,v(0,0)得1C＝。故1x-y2xyv22（5分）解2：Cdyyvdxxvy)v(xy)(x,(0,0)y)(x,(0,0)C2y)dy(2x2x)dx-(2y（2分）Cy2xy-x22(4分)以下同解1。32．解1：c-c)disin2i(cos2cos2Rezdz21dz|z|zz(3分)i4)dcos2(14i0。（5分）解2：c20ii-id2ie22e22edz|z|z|z|z(3分)i40)2i(2＝。（5分）33．解：因为0n2nn0nn2z-)z(|zn!(-1)n!)(-ze(z)'f2｜，（2分）所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得0n12nnz0)z(|12nzn!(-1))d('f(z)f｜(5分)34．解：因在C内22z3i)(zi)-(zef(z)有二阶级点z=I，所以c2izf(z)i)-(zdzdlim1!i2f(z)dz（2分）3z2ziz3i)(z2e-3i)(zelimi2i)2(-116。（5分）四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）35．解：在上半平面内，9)1))(z(zef(z)22iz有一阶极点z=i和z=3i。（2分）-22ix-22dx9)1)(x(xeRe219)dx1)(x(xcosx21I　（4分）f(z),3iiRes2if(z),iRes2Re21，（6分）16ei1if(z),Res，i48e1-f(z),3iRes3，（9分）1)-(3e48eI23　。（10分）36．解：（1）由2i|z|2i|z|－解得交点z1+1,z2=-1。（2分）设1z1-zw1，则它把D映射成W1平面上的43argw4D11：（4分）（2）设14i-2wew，则它把D1映射成W2平面上的第一象限2argw0D22：。（6分）（3）设22ww，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw0。（8分）（4）224i-)1z1-zi(1z1-z(ew＝－）。（10分）37．解：（1）-)d-a)g(t-f(g(t)*a)-f(t（2分）a)-f(tg(t)（3分）))G(F(e-iaw。（5分）（2）设F(p)=[(y(t))，对方程两边取拉氏变换，有p2F(p)+1-2Pf(p)+F(p)=p1，（7分）从中解得1)-p(p1-1)-(p1pp-1F(p)2。（8分）再求拉氏逆变换，得y(t)1-p1-p11－（9分）=1-et(10分)或利用卷积定理得到y(t)－*p11－1-p11－＝－1*et（9分）=1-et(10分)(Z)1-10-ii111zzw(W1)40(W)0(W2)022ww