复变函数试题及答案

西安交通大学考试题课程复变函数（A）一.填空（每题3分，共30分）1．i3＝2．0z＝0是函数51cos)(zzzf的（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）3.iyxyyixxzf322333)(,则()fz＝4.]0,sin1[Rezzs5.函数sinwz在4z处的转动角为6.幂级数0)(cosnnzin的收敛半径为R=____________7.dzzz10sin8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则dzzeCz219．函数14zzzf在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________10．23||22)4)(1(zzzdz成绩二．判断题（每题3分，共30分）1．nzzzf)(在0z解析。【】2．)(zf在0z点可微，则)(zf在0z解析。【】3．zezf)(是周期函数。【】4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】5．设级数0nnc收敛，而||0nnc发散，则0nnnzc的收敛半径为1。【】6．1tan()z能在圆环域)0(||0RRz展开成洛朗级数。【】7．n为大于1的正整数,LnLnnznz成立。【】8．如果函数)(zf在0z解析，那末映射)(zf在0z具有保角性。【】9．如果u是D内的调和函数,则yuixuf是D内的解析函数。【】10．212233||||221112|2(1)1zzzzdzdziizzzz。【】三．（8分）yevpxsin为调和函数，求p的值，并求出解析函数ivuzf)(。四．（8分）求)2)(1(zzzzf在圆环域21z和21z内的洛朗展开式。五．（8分）计算积分dxxxx54cos22。六．（8分）设Cdzzf173)(2，其中C为圆周3||z的正向，求(1)fi。七．（8分）求将带形区域})Im(0|{azz映射成单位圆的共形映射。复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准(2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln2ike；2.三级极点；3.23z；4.0；5.0；6.e1；7.322)1(26ss；8.0；9.0；10.)]2()2()2(1)2(1[21jj。二.判断1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。三(8分)解:1)在2||1z11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz-----4分2)在1|2|z20111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nnnfzzzzzzzz--4分四.(8分)解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故]2,54[Re25422izzesidxxxeizix--------3分)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz--------6分故2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix---------8分五.(8分)解:22371()()Cfzdz-------3分由于1+i在3||z所围的圆域内,故iCidiif1222|)173(2))1((173)1()136(2i-------8分六.(8分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到zazaieeezf)((映射不唯一,写出任何一个都算对)七.(8分)解:对方程两端做拉氏变换:13)(3))0()(()0()0()(`2ssYyssYysysYs代入初始条件,得32113)(2ssssY--------4分)1)(3(1)1)(3)(1(3sssss381185143sss故,ttteeety3818543)(---------8分(用留数做也可以)复变函数(A)的参考答案与评分标准(2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln2ike；2.三级极点；3.23z；4.0；5.0；6.e1；7.1cos1sin；8.0；9.0；10.0。二.判断1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。三.(8分)解:因为yevpxsin是调和函数,则有02222yvxv,即0sin)1(sinsin22yepyeyeppxpxpx故1p---------2分1)当1p时,yevxsin,由C-R方程,yeyvxuxcos,则)(cos),(ygyeyxux,又由yexvygyeyuxxsin)(sin，故0)(yg,所以cyg)(。则cezfz)(----------3分2)当1p时,yevxsin,由C-R方程,yeyvxuxcos,则)(cos),(ygyeyxux,又由yexvygyeyuxxsin)(sin，故0)(yg,所以cyg)(。则cezfz)(四(8分)解:1)在2||1z11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz-----4分2)在1|2|z20)2(1)1(21))211)(2(11(21)1211(21)(nnnzzzzzzzzf-------4分五.(8分)解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故]2,54[Re25422izzesidxxxeizix--------3分)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz--------6分故2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix---------8分六.(8分)解:22371()()Cfzdz-------3分由于1+i在3||z所围的圆域内,故iCidiif1222|)173(2))1((173)1()136(2i-------8分七.(8分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到zazaieeezf)((映射不唯一,写出任何一个都算对)无力CAACBlIFd2方向垂直AC向下，大小为addACdadIIrIrIFln22d210102同理BCF方向垂直BC向上，大小addBcrIlIF2d102∵45cosddrl+∴adaBCdadIIrrIIFln245cos2d210120题号12345答案CBBAC