复变函数试题答案2010

复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。定理1函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析的充要条件：（1）(,)uxy，(,)vxy在D内可微，（2）(,)uxy，(,)vxy满足CR条件。（3分）定理2函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析的充要条件：（1）,,,xyxyuuvv在D内连续，（2）(,)uxy，(,)vxy满足CR条件。（3分）定理3函数()fz在区域D内解析的充要条件：()fz在区域D内连续，若闭曲线C及内部包含于D，则()0Cfzdz。（3分）定理4函数()fz在区域D内解析的充要条件：()fz在区域D内每一点a，都能展成xa的幂级数。（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分）3、方程2zei的解为：11ln5arctan222iki，其中k为整数。（3分）4、设2010sinzfzz，则0Rezsfz2010。（3分）二、验证计算题（共16分）。1、验证22,2uxyxyx为复平面上的调和函数，并求一满足条件12fii的解析函数,,fzuxyivxy。（8分）解：（1）22uxx，222ux；2uyy，222uy。由于22220uuyx，所以(,)uxy为复平面上的调和函数。（4分）（2）因为fz为解析函数，则,uxy与,vxy满足C.-R.方程，则有22vuxyx，所以(,)2222()vxyxdyxyyCx2,vuyxy又2()vyCxx，所以()0Cx，即()Cx为常数。所以22()2(22)fzxyxxyyCi。（8分）由于()12fii，所以0C。即222()2222fzxyxxyyizz。（8分）2、方程201020092920092109100zzz在单位圆1z内有几个根？为什么？（8分）解：有29个根，因为在圆周1z上，20102009292009102109zzz，由儒歇定理知在1z由201020092920092109100zzz有29个根。（8分）三、计算题（每题6分，共18分，用复变函数论的方法，并指出计算的理论根据）。1、243412zzdzzz。解：原式=2211213434(1)(2)(1)(2)zzzzdzdzzzzz2342701zziz（6分）2．2054cosd解：原式=1(21)(2)zidzzz（3分）12222(2)3ziiz。（6分）3．2220(1)(9)xdxxx解：原式=22212(1)(9)xdxxx（1分）222Im0Re(1)(9)kkzaaziszz（3分）22223()(9)(1)(3)zizizzizizzzi（5分）8。（6分）四、罗朗级数与奇点（15分）1、设123fzzz，试求（1）fz在圆环23z内的罗郎展式；（5分）（2）fz在3z为中心的去心邻域内的罗郎展式，并指出收敛圆环。（5分）解：（1）111111()2323113fzzzzzz（2分）0011233nnnnzzz（5分）1100123nnnnnnzz1110123nnnnnnzz23z（2）1111()32313fzzzzz（2分）011(3)3nnnzz31z。（5分）2、试判断函数63111cos2zz在奇点0z的类型。（5分）解由于612183cos12246!zzzz，（2分）所以6121821cos2246!zzzz（3分）因此0z为函数4211cos2zz的12级极点。（5分）五、求一分式线性变换fz将上半平面0Imz共形映射成单位圆1使得20fi，20fi。（10分）解：由题意知(2)0,(2)fifi，(0)1f（3分）所以可设2()2izifzezi，（5分）求导得24()(2)iiefzzi。由于(2)04iiefi，所以122k。此处k是整数。因此2()2zifzizi。（10分）六、证明题：1、设fz在区域D内解析；（2）在D内一点a处有()0kfa，1,2,3,,k，则fz在区域D内必为常数。证明：设a到区域D的边界的距离为12d。由于()fz在区域D内解析，1zadD，所以在1zad内，()fz可展成za的幂级数()0()()()()!nnnfafzzafan即()fz在1zad内为常数。（5分）设b为区域D内任意一点，设连接a和b的包含与区域D内的折线的分点依次为12,,nabbbb，设折线到区域D的边界的距离为22d，令12min{,}ddd。考虑折线2ab，在折线2ab上依次取分点122,,mab，使得相邻两分点间的距离小于d，作圆:,1,2,kkCzdkm。由于()fz在zad内为常数，由唯一性定理知()fz在2zd内为常数，同样可得，()fz在3zd内为常数，于是可得知()fz在2zbd内为常数，类似地考虑折线231,,nbbbb，可得()fz在b的某领域内为常数，即有()()fbfa。由b的任意性知()fz在区域D内为常数。第二步只要讲出由唯一性定理得到结论即可。（10分）2、如果函数fz在单位圆1z内解析，并且满足条件00f，且对于单位圆1z内的任意点z有1fz，则在单位圆1z内恒有fzz，且有01f。证明：由题意可得23123fzczczcz1z令2123fzzcczczz1z由z的构造知z在1z内解析，且100cf。考虑z在去心单位圆01z内任意一点0z处的值，取r满足1zr，由最大模定理，有01maxmaxzrzrfzzzzr；令1r，得01z。所以001f。当0z时，显然有000f。当01z时，有1fzzz，即fzz。综上所述，即在单位圆1z内恒有fzz，且有01f。证毕。