复数复习课教学设计

课题：复数复习课教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义奎屯王新敞新疆教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．教学难点：复数的知识结构的梳理奎屯王新敞新疆教学过程：一、知识要点：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立奎屯王新敞新疆2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i奎屯王新敞新疆3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1奎屯王新敞新疆4.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部奎屯王新敞新疆全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.5.复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,)zabiabR，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式奎屯王新敞新疆6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)abiabR，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等奎屯王新敞新疆即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d奎屯王新敞新疆一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小奎屯王新敞新疆只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小奎屯王新敞新疆9.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴奎屯王新敞新疆实轴上的点都表示实数奎屯王新敞新疆对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数奎屯王新敞新疆10．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.11.复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.12.复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1.13.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)奎屯王新敞新疆14．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.16.除法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的商(a+bi)÷(c+di)=idcadbcdcbdac2222.17.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数奎屯王新敞新疆虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数奎屯王新敞新疆18.复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量1OP、2OP，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量奎屯王新敞新疆19.复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.20．复数的模：22||||||zabiOZab二、双基自测：1.（安徽卷·文科·1）．复数32(1)ii（）A．2B．－2C．2iD．2i2（浙江卷·文科·1）已知a是实数，iia1是纯虚数，则a=（）A．1B．-1C．2D．－23.（上海卷·文理科·3）若复数z满足(2)ziz（i是虚数单位），则z_____4.已知1,2iz则501001zz的值为.三、专题探究：专题一：复数的概念与分类设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0，(2)z是纯虚数⇔a＝0b≠0，(3)z是实数⇔b＝0例题1、已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，对于复数w＝(z＋ai)2，当a为何值时，w为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【思路点拨】求复数z→化简w→待定a.【解】设z＝x＋yi(x、y∈R)，z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2，z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∵w＝(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，(1)当w为实数时，令a－2＝0，∴a＝2，即w＝12＋4×2－22＝16.(2)w为虚数，只要a－2≠0，∴a≠2.(3)w为纯虚数，只要12＋4a－a2＝0且a－2≠0，∴a＝－2或a＝6.【思维总结】正确求z及化简w是解本题的关键．举一反三：实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？(口答）专题二：复数的四则运算复数的乘除法的运算是历年高考在复数部分考查的重点，熟练掌握复数乘除法的运算法则，熟悉常见的结论和复数的有关概念是迅速求解的关键．例题2、(2010年高考辽宁卷)设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝3【解析】∵1＋2ia＋bi＝1＋i，∴a＋bi＝1＋2i1＋i＝1＋2i1－i1＋i1－i＝3＋i2，∴a＝32，b＝12.【答案】A例题3、若1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＝1a＋bi，求z.immz)1(1【思路点拨】首先求出a、b，再设z＝x＋yi，求x、y.【解】1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝－i1＋i＋i1－i＝i1＋i2－i1－i2＝－1.∴a＋bi＝－1，∴z2＝－1.∵i2＝－1，(－i)2＝－1，∴z＝±i.【思维总结】本题实际是求x2＝－1的方程的两根，设(x＋yi)2＝－1，也是求方程根的通法．举一反三：复数2(1)1ii（）．A．22iB．1iC．1iD．2i专题三：复数的几何意义及应用复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法．例题4已知点集D＝{z||z＋1＋3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．【解】点集D对应的曲线为以点C(－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP→|＝|z|.由图知，当OP过圆心C(－1，－3)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－12＋－32－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.举一反三：1.（上海春季卷·16）已知Cz，且i,1|i22|z为虚线单位，则|i22|z的最小值是（）（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.2.|34|2zi，则||z的最大值为（）A3B7C9D5四、课堂小测1、以的虚部为实部，并以的实部为虚部构成的新复数是（）A、B、C、D、2、复数的值是（）A、-1B、0C、1D、i3、在复平面内，复数对应的点在第（）象限A、一B、二C、三D、四4、计算：（1）（2）52i25ii22i2i55i55432iiiiz2)31(1iiiii2132)131(ii5、若是纯虚数，则实数x=___五、课堂小结：通过系统复习复数的知识，及专题精讲，进一步体会数学转化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用六、作业1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使ni=1(i是虚数单位）的是（）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=52.（2009广东卷理）设z是复数，()az表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，()ai（）A.8B.6C.4D.23.（2009浙江卷理）设1zi（i是虚数单位），则22zz()A．1iB．1iC．1iD．1i4.（2009浙江卷文）设1zi（i是虚数单位），则22zz（）A．1iB．1iC．1iD．1i5.（2009北京卷理）在复平面内，复数(12)zii对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.(2009山东卷理)复数31ii等于（）A．i21B.12iC.2iD.2i7.(2009山东卷文)复数31ii等于（）A．i21B.12iC.2iD.2i8.（2009全国卷Ⅰ理）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（）（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若17(,)2iabiabRi，则乘积ab的值是()（A）－15（B）－3（C）3（D）15ixxx)23()1(22【解析】17(17)(2)1325iiiii，∴1,3,3abab，选B。10.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i(1+i)等于（）A．1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i11.（2009江西卷理）若复数2(1)(1)zxxi为纯虚数，则实数x的值为（）A．1B．0C．1D．1或112.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（）A、13B、14C、16D、11213.（2009全国卷Ⅱ理）10i2-i（）A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i14.（2009辽宁卷理）已知复数12zi，那么1z=（）（A）52555i（B）52555i（C）1255i（D）1255i15.（2009宁夏海南卷理）复数32322323iiii（）（A）0（B）2（C）-2i(D)216.（2009辽宁卷文）已知复数12zi，那么1z＝（）（A）52555i（B）52555i（C）1255i（D）1255i17.（2009天津卷文）i是虚数单位，ii25=（）Ai21Bi21Ci21Di2118、若复数z满足，则的值为.19、若n是奇数，求奎屯王新敞新疆20、如果复数2i1i2b（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.B.C.－D.21zizz11nnii4421212323221、当＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22、已知，其中，求23、已知求复数z.yx与Ryx,iyyix)3()12(izz4232