复旦大学博弈论第三章习题

1问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a、b数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么条件？①0a，不借—不分—不打；②01a，且2b，借—不分—打；③1a，且2b，借—不分—打(,)ab；④0a，且2b，借—分—（2，2）问题2：三寡头市场需求函数QP100，其中Q是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？1123111231(100)2(98)qqqqqqqqq2123221232(100)2(98)qqqqqqqqq3123331233(100)2(98)qqqqqqqqq331230,(98)/2qqqq代入，11212122(98)/2,(98)/2qqqqqq12120,0qq，得***12398/3,49/3qqq乙甲乙借不借分不分打不打（1，0）（2，2）（a，b）（0，4）2***1234802/9,2401/9。问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。（1）若a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2）TNL是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，博弈方2在第二阶段选择M。（2）不可能。TNL带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论a和b是什么数值，该路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。（3）由于TNL不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为LNS，要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须300,300ab。问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品121LRMNST300，0200，200（a，b）50，3003选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。（1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？企业乙企业甲高档低档高档500，5001000，700低档700，1000600，600扩展型表示的博弈若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，所以：甲的策略为：选择生产高档产品；乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。甲乙乙高低低低高高（500，500）（1000，700）（700，1000）（600，600）4问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是qcaqp21)（，企业2的利润函数是pbq22)（，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。求：（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数cba,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？解：（1）122()02()0paqcpqbq，解得：,pabcqc12,babc（2）22()0qbq，代入得到21)pabcb（，12)0pabcp（，得pabc，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价pabc，企业2的定价qb，利润也与（1）相同。与同时选择无异。（3）将paqc代入222))qbpqbaqc（（甲乙不给不给实施不实施（-1000，1000）（0，0）（-∞，-∞）522)0qbaq（，解得2aqb，代入得22apabc*12abb，2*24aabcabc（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。①当24aabcabc0a，企业2希望先决策；②当2abb时，企业1希望先决策，只要0a都希望自己先决策。20,0,0,024aabbabcabc，因此当0,2aab和cab时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为QaQP)(，其中321qqqQ，iq是厂商i的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择产量1q，厂商2和厂商3观察到1q后同时选择2q和3q，问它们各自的产量和利润是多少？解：123()()1,2,3iiacqqqqi21232312332020acqqqqacqqqq2311()3qqacq，代入得1111()3acqq令*11110,()2dqacdq，代入得：**231()6qqac6*2*2*2123111(),(),()123636acacac问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是2c。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到1c，该项技术需要投资f。在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为qqp14)(，其中p是市场价格，q是两个企业的总产量。问上述投资额f处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？解：以未引进技术为基准1121121222(14)2(14)2qqqqqqqq，令12120qq，得12124,16qq如果引进技术，1121121222(14)(14)2qqqqfqqqq令12120qq，得1211411196,,339qqf只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即196169f，即196521699f时企业1才会引进新技术。问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全面复习花费的时间1001t小时，重点复习只需要花费202t小时。学生的效用函数为：eWU2，其中W是考试成绩，有高低两种分数hW和lW，e为努力学习的时间。问老师如何才能促使学生全面复习？解：学生全面复习的期望得益10.9(200)0.1(200)0.90.1200hlhlu学生重点复习的期望得益20.5(40)0.5(40)0.50.540hlhlu根据激励相容的条件，12uu，所以有70.90.12000.50.540hlhl所以：0.4()160hlww故：400hlww奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为em05.0.，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。解：第三阶段，律师努力的期望得益：0.5200.557.5不努力的期望得益：0.1524.50.850.53.25满足激励相容约束第二阶段：7.53.25&7.55接受委托并努力工作第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么0.52250.50112.50委托是必然的选择。打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。学生成绩成绩全面重点低分0.1高分0.9Wh-200Wl-200Wh-40Wl-40高分0.5低分0.5812100委托不委托接受拒绝努力不努力赢0.5赢0.15输0.85输0.5（0，5）（0，5）（225，20）（0，-5）（225，24.5）（0，-0.5）