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模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积底高2从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的13,则三角形面积与原来的一样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如图12::SSabbaS2S1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACDBCDSS△△;反之,如果ACDBCDSS△△,则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.三角形等高模型与鸟头模型【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成:⑴3个面积相等的三角形;⑵4个面积相等的三角形;⑶6个面积相等的三角形。【解析】⑴如下图,D、E是BC的三等分点,F、G分别是对应线段的中点,答案不唯一:CEDBAFCDBAGDCBA⑵如下图,答案不唯一,以下仅供参考:⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图,答案不唯一,以下仅供参考:【例2】如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线上。⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍?⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时,它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线,也就是说三个三角形的高相等。于是:三角形ABD的面积12高26高三角形ABC的面积124()高28高三角形ADC的面积4高22高所以,三角形ABC的面积是三角形ABD面积的43倍;三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。【例3】如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是平方厘米。ABCDEF【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半,即4326(平方厘米)。【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示,平行四边形的面积是50平方厘米,则阴影部分的面积是平方厘米。CDBA【解析】根据面积比例模型,可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半,所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半,为50225平方厘米。【巩固】如下图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是。FEDCBA【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半,为120121202。【例4】如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积。HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接BH、CH。∵AEEB,∴AEHBEHSS△△.同理,BFHCFHSS△△,S=SCGHDGH,∴11562822ABCDSS阴影长方形(平方厘米).【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是。EDGCFBA654321HABFCGDE【解析】把另外三个三等分点标出之后,正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正方形的顶点相连,把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上,它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形,右边三角形的面积和第1第2个三角形相等:中间三角形的面积和第3第4个三角形相等;左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一,因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144,阴影部分的面积就是48。【例5】长方形ABCD的面积为362cm,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少?HGFEDCBA【解析】解法一:寻找可利用的条件,连接BH、HC,如下图:HGFEDCBA可得:12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS,而36ABCDAHBCHBCHDSSSS即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS;而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影,11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。所以阴影部分的面积是:18184.513.5EBFSS阴影解法二:特殊点法。找H的特殊点,把H点与D点重合,那么图形就可变成右图:GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积,根据鸟头定理,则有:11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS阴影。【例6】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少?HGFEDCBA(H)GFEDCBAHGFEDCBA【解析】(法1)特殊点法。由于H为AD边上任意一点,找H的特殊点,把H点与A点重合(如左上图),那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和,而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD面积的18和14,所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的113848,为33613.58。(法2)寻找可利用的条件,连接BH、HC,如右上图。可得:12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS,而36ABCDAHBCHBCHDSSSS,即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS;而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影,11111()()364.522228EBFSBEBFABBC。所以阴影部分的面积是:18184.513.5EBFSS阴影。【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积。PDCBAABCD(P)PDCBA【解析】(法1)特殊点法。由于P是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设P点与A点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16,所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。(法2)连接PA、PC。由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16,所以阴影部分的面积为2116()1546平方厘米。【例7】如右图,E在AD上,AD垂直BC,12AD厘米,3DE厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍?EDCBA【解析】因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时,AD是三角形ABC的高,ED是三角形EBC的高,于是:三角形ABC的面积1226BCBC三角形EBC的面积321.5BCBC所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍.【例8】如图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形?FDECBA【解析】AEC、AFC、ABF.【巩固】如图,在ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形?EDCBA【解析】3个,AEC、BED、DEC.【巩固】如图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有哪几对?ODCBA【解析】ABD与ACD,ABC与DBC,ABO与DCO.【例9】(第四届”迎春杯”试题)如图,三角形ABC的面积为1,其中3AEAB,2BDBC,三角形BDE的面积是多少?ABECDDCEBA【解析】连接CE,∵3AEAB,∴2BEAB,2BCEACBSS又∵2BDBC,∴244BDEBCEABCSSS.【例10】(2008年四中考题)如右图,ADDB,AEEFFC,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC的面积是平方厘米.FEDCBAFEDCBA【解析】连接CD.根据题意可知,DEF的面积为DAC面积的13,DAC的面积为ABC面积的12,所以DEF的面积为ABC面积的111236.而DEF的面积为5平方厘米,所以ABC的面积为15306(平方厘米).【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍,EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?FEDCBA【解析】ABD,ABC等高,所以面积的比为底的比,有12ABDABCSBDSBC,所以ABDS=111809022ABCS(平方厘米).同理有190303ABEABDAESSAD(平方厘米),34AFEABEFESSBE3022.5(平方厘米).即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.【巩固】如图,在长方形ABCD中,Y是BD的中点,Z是DY的中点,如果24AB厘米,8BC厘米,求三角形ZCY的面积.ABCDZY【解析】∵Y是BD的中点,Z是DY的中点,∴1122ZYDB,14ZCYDCBSS,又∵ABCD是长方形,∴11124442ZCYDCBABCDSSS(平方厘米).【巩固】如图,三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.FEDCBA【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24212,三角形ADE又是三角形ADC面积的一半1226.三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半,所以三角形FED的面积623.【巩固】如图,在三角形ABC中,8BC厘米,高是6厘米,E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?FECBA【解析】∵F是AC的中点∴2ABCABFSS同理2ABFBEFSS∴486246BEFABCSS(平方厘米).【例11】如图ABCD是一个长方形,点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个平方单位,求三角形EFG的面积是多少个平方单位.FEGDCBAFEGDCBA【解析】如右图分割后可得,243649EFGDEFCABCDSSS矩形矩形(平方单位).【巩固】(97迎春杯决赛)如图,长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点,N在AB边上,且2ANBN.那么,阴影部分的面积是多少?ANBMDCCDMBNA【解析】连接BM,因为M是中点所以ABM△的面积为14又因为2ANBN,所以BDC△的面积为1114312,又因为BDC△面积为12,所以阴影部分的面积为:115112212.【例12】如图,大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平
本文标题:小学奥数-几何五大模型(等高模型)
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