大学物理上册第3章习题解答

第3章角动量定理和刚体的转动一、内容提要1、质点的角动量定理⑴质点对于某一定点的角动量和角动量定理：角动量Lrmv角动量定理dLMdt⑵质点对于z轴的角动量和角动量定理：角动量zLrmv角动量定理zzdLMdt2、质点系的角动量定理刚体的转动惯量和定轴转动定理⑴质点系的角动量定理iiiidMLdt⑵刚体的转动惯量2ziiiIrm或2zIrdm⑶刚体的定轴转动定理zzzdMIIdt3、刚体的定轴转动动能定理⑴力矩的功zAMd⑵刚体的转动动能212kzEI⑶刚体的定轴转动动能定理22211122zzzAMdII4、角动量守恒定律⑴质点的角动量守恒定律：若0M，则21LL⑵刚体的对轴角动量守恒定律：刚体对轴的角动量也可写为2zizizLrmI，若0iziM，则0zzII，即有0二、习题解答3.1一发动机的转轴在7s内由200/minr匀速增加到3000/minr.求：（1）这段时间内的初末角速度和角加速度.（2）这段时间内转过的角度和圈数.（3）轴上有一半径为2.0rm的飞轮,求它边缘上一点在7s末的切向加速度、法向加速度和总加速度.解：（1）初的角速度1200220.9/60rads末的角速度230002314/60rads角加速度231420.941.9/7radst（2）转过的角度为2211120.9741.97117622ttrad1176186223.14nr（3）切向加速度241.90.28.38/arms法向加速度为：22423140.21.9710/narms总的加速度为：22242428.38(1.9710)1.9710/naaams3.3地球在1987年完成365次自转比1900年长14.1s.求在1900年到1987年间,地球自转的平均角加速度.解：平均角加速度为00003652365287TtTatT2123730365236521.140.9610/8787(3.1510)tradsT3.4一人手握哑铃站在转盘上,两臂伸开时整个系统的转动惯量为22kgm.推动后,系统以15/minr的转速转动.当人的手臂收回时,系统的转动惯量为20.8kgm.求此时的转速.解：由刚体定轴转动的角动量守恒定律，1122II121221537.5/min0.8IrI3.5质量为60kg,半径为0.25m的匀质圆盘,绕其中心轴以900/minr的转速转动.现用一个闸杆和一个外力F对盘进行制动（如图所示）,设闸与盘之间的摩擦系数为4.0.求：（1）当100FN,圆盘可在多长时间内停止,此时已经转了多少转？（2）如果在2s内盘转速减少一半,F需多大？图3-5习题1.4图解：（1）设杆与轮间的正压力为N,10.5lm，20.75lm，由杠杆平衡原理得121()FllNl121()FllNl闸瓦与杆间的摩擦力为：121()FllfNl匀质圆盘对转轴的转动惯量为212ImR，由定轴转动定律,MI，有122112FllRmRl21212()40/3FllradsmRl停止转动所需的时间：0900200607.06403ts转过的角度201532332.762ttradrad532n圈（2）030，在2s内角速度减小一半，知00227.5/23.55/radsradst1222112FllRmRl112600.250.5(23.55)1772()20.41.25mRlFNll3.6发动机带动一个转动惯量为250kgm的系统做定轴转动.在0.5s内由静止开始匀速增加到120/minr的转速.求发动机对系统施加的力矩.解：由题意，250Ikgm，00，120/min4/rrads系统角加速度为：20825.12/radstt由刚体定轴转动的转动定理，可知MI5025.121256MNm3.7一轻绳绕于半径为R的圆盘边缘,在绳端施以mgF的拉力,圆盘可绕水平固定光滑轴在竖直平面内转动.圆盘质量为M,并从静止开始转动.求：（1）圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系.（2）如以质量为m的物体挂在绳端,圆盘的角加速度及转动的角度和时间的关系又如何？解：（1）由刚体转动定理可知：MI上题可知：MFRmgR212IMR代入上式得2mgMR，2212mgttMR（2）对物体受力分析'mgFma'FRIaR,212IMR由上式解得22mgMRmR22122mgttMRmR3.8某冲床飞轮的转动惯量为32410kgm.当转速为30/minr时,它的转动动能是多少？每冲一次,其转速下降10/minr.求每冲一次对外所做的功.解：由题意，转速为：030/min/rrads飞轮的转动动能为：2324114101.9721022EIJ第一次对外做功为：22011122AII1220/min3r24222223010111115154103.141.09102222929AIIIIJ3.9半径为R,质量为M的水平圆盘可以绕中心轴无摩擦地转动.在圆盘上有一人沿着与圆盘同心,半径为Rr的圆周匀速行走,行走速度相对于圆盘为v.设起始时,圆盘静止不动,求圆盘的转动角速度.解：设圆盘的转动角速度为2，则人的角速度为12vr，圆盘的转动惯量为212MR，人的转动惯量为2mr,由角动量守恒定律，222212vmrMRr即22222mrvmrMR3.10两滑冰运动员,质量分别为60kg和70kg,他们的速率分别为7/ms和6/ms,在相距1.5m的两平行线上相向滑行.当两者最接近时,互相拉手并开始绕质心做圆周运动.运动中,两者间距离保持m5.1不变.求该瞬时：（1）系统的总角动量.（2）系统的角速度.（3）两人拉手前后的总动能.解：⑴设1m在原心，质心为cr701.50.87060crm120.8,1.50.810.7crrmrm21112226070.870607630./Jmvrmvrkgms⑵系统的转动惯量为：222221122600.8700.772.7Imrmrkgm6308.66/72.7JradsI222201122111160770627302222EmvmvJ221172.78.66272622EIJ3.11半径为R的光滑半球形碗,固定在水平面上.一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端在碗外.在碗内的长度为c,求棒的全长.解：棒的受力如图所示本题属于刚体平衡问题，由于碗为光滑半球形，A端的支持力沿半径方向，而碗缘B点处的支持力方向不能确定，两个支持力和重力三者在竖直平面内。棒的受力如图所示1cossinNFG12sincosNNFFGABGAFBF1BF2BF21cos02NFG由上式解得24(2)cRLc24(2)cRLc3.12一均质的梯子,一端置于摩擦系数为5.0的地板上,另一端斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上.一人的体重为梯子的三倍,爬到梯子顶端时,梯子尚未开始滑动.求梯子与地面的最小倾角.解：梯子的受力分析如图所示，由平衡条件可知12120NFfGG210NFf2213NfF1113NfF1211(coscossin02NFGfl由上面式求解得4124tg所以梯子与地面的最小倾角为：4124arctg3.13半径为R的均质圆盘水平放置在桌面上,绕其中心轴转动.已知圆盘与桌面的摩擦系数为,初始时的角速度为0.求经过多少时间后圆盘将静止.解：圆盘由于受到摩擦力距M的作用，所以最终会停止转动，为求出摩擦力矩，可将圆盘分为无限多个圆环，半径为r，宽度为dr圆环所受摩擦力矩为0GG1NF2NF1f2f22222mmgdMrdrgrrdrRR对上式积分求得整个圆盘所受的摩擦力矩为：220223RmgMrdrmgRR圆盘的转动惯量212ImR，由角动量的冲量定理00MtI202132mgRtmR即034Rtug3.14通风机转动部分的转动惯量为I,以初角速度0绕其轴转动.空气阻力矩与角速度成正比,比例系数为k.求经过多少时间后,转动角速度减为初角速度的一半,在此时间内共转了多少圈.解：根据转动定理dIkdtdkdtI两边积分002todkdtIln2ktI,ln2ItkddddIIIkdtddtdIdkd由上式两边积分，0020Idkd02Ik04Ink3.15赤道上有一高为h的高楼.由于地球自转,楼顶和楼底对地心参照系都有线速度.（1）求楼顶和楼底的线速度之差.（2）证明一物体自楼顶自由下落,由于地球自转的影响,着地点将在楼底东侧约2/hhg处.解：（1）楼顶的线速度为()vRh，楼底的线速度为bvR两者之差bvvh（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度R平移，则落体下落时间为2htg而着地时偏东的距离为2()bhsvvthg