大学物理学上册习题答案

第一章质点运动学1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为011ktvv；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为01ln(1)xvktk．[证明]（1）分离变量得2ddvktv，积分020ddvtvvktv，可得011ktvv．（2）公式可化为001vvvkt，由于v=dx/dt，所以00001ddd(1)1(1)vxtvktvktkvkt积分00001dd(1)(1)xtxvktkvkt．因此01ln(1)xvktk．证毕．1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ=2+4t3．求：（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度为ω=dθ/dt=12t2=48(rad·s-1)，法向加速度为an=rω2=230.4(m·s-2)；角加速度为β=dω/dt=24t=48(rad·s-2)，切向加速度为at=rβ=4.8(m·s-2)．（2）总加速度为a=(at2+an2)1/2，当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即3ntaa．由此得23rr，即22(12)243tt，解得33/6t．所以3242(13/3)t=3.154(rad)．（3）当at=an时，可得rβ=rω2，即24t=(12t2)2，解得t=(1/6)1/3=0.55(s)．1.6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a=203m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ．加速度的大小为ax=acosα，ay=asinα．运动方程为2012xxxvtat，2012yyyvtat．即201coscos2xvtat，201sinsin2yvtat．令y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为t=0（舍去）；02sin103sinvta(s)．yxOαv0θaaxayv0xv0y将t代入x的方程求得x=9000m．1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为21012hvtat；螺帽做竖直上抛运动，位移为22012hvtgt．由题意得h=h1-h2，所以21()2hagt，解得时间为2/()thag=0.705(s)．算得h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．1.10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？对地的速度2v等于雨对车的速度3v加车对地[解答]雨的速度1v，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα=l/h．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v2sinθ+v3sinα，v1=其中v3=v⊥/cosα，而v⊥=v2cosθ，因此v1=v2sinθ+v2cosθsinα/cosα，第二章质点力学的基本定律2.1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v运动，0v的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a=gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为2211sin22yatgt．x=v0t，v1hlv2θ图1.10v1hlv2θv3ααv⊥αABv0P图2.4将t=x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为220singyxv，这是抛物线方程．2.4如图所示：已知F=4N，m1=0.3kg，m2=0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2=2a1，而力的关系为T1=2T2．对两物体列运动方程得T2-μm2g=m2a2，F–T1–μm1g=m1a1．可以解得m2的加速度为12212(2)/22Fmmgamm=.78(m·s-2)，绳对它的拉力2112(/2)/22mTFmgmm=1.35(N)．2.7两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足12111kkk；关系关系式（2）它们并联起来时，总倔强系数k=k1+k2．[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F=kx，其中k为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为F1=k1x1，F2=k2x2．（1）由于弹簧串联，所以F=F1=F2，x=x1+x2，因此1212FFFkkk，即12111kkk．（2）由于弹簧并联，所以F=F1+F2，x=x1=x2，因此kx=k1x1+k2x2，即k=k1+k2．2.8质量为m的物体，最初静止于x0，在力2kfx(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v=[2k(1/x–1/x0)/m]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程m2FT1a1m1T2a2f1f2图2.6k1k2F(a)k1k2F图2.7(b)222ddkxfmamxt利用v=dx/dt，可得22ddddddddddxvxvvvtttxx，因此方程变为2ddkxmvvx，积分得212kmvCx．利用初始条件，当x=x0时，v=0，所以C=-k/x0，因此2012kkmvxx，即0211()kvmxx．证毕．2.12如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为F=mgtgθ．珠子做圆周运动的半径为r=Rsinθ．根据向心力公式得F=mgtgθ=mω2Rsinθ，可得2cosmgR，解得2arccosgR．2.13如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F=-kx，而位移x=Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t=0到t=π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得mRωθrmg图2.15OxFxm图2.16dI=Fdt=-kAcosωtdt，积分得冲量为/20(cos)dIkAttπ，/20sinkAkAtπ2.15用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为2yvgh=14(m·s-1)，其速度的增量为22xyvvv=24.4(m·s-1)．棒给球冲量为I=mΔv=7.3(N·s)，对球的作用力为（不计重力）F=I/t=366.2(N)．2.16如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g=10m·s-2）[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg–T=Ma，物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程T=Ma，联立方程可得a=g/2=5(m·s-2)．根据运动学公式s=v0t+at2/2，可得B拉C之前的运动时间2/tsa=0.4(s)．此时B的速度大小为v=at=2(m·s-1)．物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得2Mv=3Mv`，因此C开始运动的速度为v`=2v/3=1.33(m·s-1)．一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质CBA图2.192.19一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？[解答]（1）质点的初动能为E1=mv02/2，末动能为E2=mv2/2=mv02/8，动能的增量为ΔEk=E2–E1=-3mv02/8，这就是摩擦力所做的功W．（2）由于dW=-fds=-μkNds=-μkmgrdθ，积分得20()d2kkWmgrmgr．由于W=ΔE，可得滑动摩擦因数为20316kvgrπ．（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为at=f/m=-μkg，根据公式vt2–vo2=2ats，可得质点运动的弧长为22008223kvvrsag，圈数为n=s/2πr=4/3．2.22如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为12vgl．钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程222111122111``222mvmvmv，``111122mvmvmv．整理得22211122(`)`mvvmv``11122()mvvmv．l=0.8mm2m1O图2.26将上式除以下式得v1+v1`=v2`，代入整理的下式得``11112121mvmvmvmv，解得`121112()mmvvmm．碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为`2221121121()22vmmhvggmm21212()mmlmm=0.36(m)．2.23一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；（3）物体到达B时对槽的压力．[解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得221122mgRmvMV，根据动量守恒定律得0=mv+MV．因此2211()22mgRmvMVM2211()22mvmvM，解得2MgRvMm，从而解得2()gRVmMMm．（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量2212mgRWMVMm．（3）物体在槽底相对于槽的速度为`(1)mMmvvVvvMM2()MmgRM，物体受槽的支持力为N，则2`vNmgmR，因此物体对槽的压力为2`2`(3)vmNmgmmgRM．2.38一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．（1）问它能上升多高？（2）求余下部分的角