大学物理习题解答8第八章振动与波动

第七章电磁感应1第七章电磁感应本章提要1.法拉第电磁感应定律·当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中就将产生电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。·法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化石，回路中产生地感应电动势ie与磁通量mΦ变化率的关系为ddt＝－Fe其中Φ为磁链，负号表示感应电动势的方向。对螺线管有N匝线圈，可以有mN。2.楞次定律·楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。3.动生电动势·磁感应强度不变，回路或回路的一部分相对于磁场运动，这样产生的电动势称为动生电动势。动生电动势可以看成是洛仑兹力引起的。·由动生电动势的定义可得：()dbabae醋ò＝vBl·洛伦兹力不做功，但起能量转换的作用。4.感生电动势·当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时，导体中产生的电动势称为感生电动势。ddddddLStteF=??蝌Ñ－＝－iErBS其中Ei为感生电场强度。5.自感第七章电磁感应2·当回路中的电流发生变化，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，产生的电动势为自感电动势，其表达式为：ddLiLte=-（L一定时）负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数L称为电感或自感系数。·自感系数表达式为：LiY=·自感磁能212mWLI=6.互感·对于两个临近的载流回路，当其中一回路中的电流变化时，电流所激发的变化磁场在另一回路中产生感应电动势。这种现象称为互感现象，对应产生的电动势称为互感电动势，其表达式为：121ddiMte=-（M一定时）其中M为互感系数。211212MiiYY==7.麦克斯韦方程组回顾有关描述静电场和稳恒磁场的基本性质的4个方程：静电场高斯定理0dDSSq稳恒磁场的高斯定理d0BSS静电场的环路定理d0Ell稳恒磁场的安培环路定理0dHlLI根据上述4个方程，考虑电场或磁场的变化，麦克斯韦对上述方程进行修改，得到如下一组描述任何电场和磁场的方程组。0dSqDS第七章电磁感应3ddddlStBElSd0SBS0ddddLSItDHlS思考题7-1一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。答：(1)(2)通过导体圆线圈的磁通量BS＝F?。当线圈沿磁场方向平移和沿垂直方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以磁通量也保持不变，由法拉第电磁感应定律d/dte=-F，线圈中感应电动势为零，也就没有感应电流。(3)线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行）转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此线圈中也没有感应电流。(4)线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程中，磁通量为cosBSq，q磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它随时间的变化而变化，所以线圈中存在感应电动势，有感应电流。7-2灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转，切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。这时，如果用导线把线圈的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？答：通电线圈处在磁场中，受到磁力距的作用，发生偏转。切断电流后，由法拉第电磁感应定律，电流不会消失，而是逐渐衰减，在此过程中线圈仍然受到磁场安培力的作用，因此在回到原来位置前总要来回摆动几次。如果用导线把线圈的两个头短路，线圈中电流被短路，不再受到安培力的作用，摆动马上停止。7-3变压器铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡流，使铁芯发热，浪费电能，甚至引起事故。将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，涡流损耗也随之减小。为减小磁通量铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向平行。7-4让一块磁铁在一根长的铅直管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。答：磁铁入管前后，铁管中磁通量发生变化而出现感生电流，从而阻碍磁铁的运动，此时磁铁作加速度小于重力加速度的加速运动。磁铁在管内运动时，铁第七章电磁感应4管中磁通量不发生变化，此时磁铁作自由落体运动。磁铁出管前后，管中也出现感生电流，磁铁的运动受到阻碍，作加速度小于重力加速度的加速运动。7-5要求用金属线绕制的标准电阻无自感，怎样绕制才能达到此目的？答：将金属线对折，然后绕成螺线圈。螺线圈内的磁感应强度为零，电阻也就无自感。7-6两个共轴长线圈的自感系数1L和2L的比为4，这两线圈的匝数比是多少？答：设长线圈单位长度上线圈的匝数为n，线圈的体积为V，则其自感为2LnVm=。由此可知，若两共轴长线圈的自感系数之比为4，则这两线圈的匝数比是1：2。7-7什么叫位移电流？位移电流和传导电流有什么不同？答：通过电场中某一横截面的位移电流等于通过该截面电位移通量对时间的变化率。位移电流的实质是电场的变化率。而传导电流则穿过某个横截面的电荷量对时间的变化率，对应着电荷的移动。位移电流可以在真空中存在，而传导电流只能存在有电荷的空间。7-8感生电场与静电场有什么相同之处？又有什么不同？答：相同之处：感生电场与静电场都对电荷有力的作用。不同之处在于：静电场存在于静止电荷周围的空间内，感生电场则是由变化的磁场所激发，不是由电荷所激发；静电场的电场线是始于正电荷、终于负电荷的，而感生电场的电场线则是闭合的。正是由于感生电场的存在，才在闭合回路中形成感生电动势。7-9变化磁场所产生的电场是否也一定随时间变化？答：变化磁场所产生的电场不一定随时间变化。如果d/dBt为常数，即磁场均匀变化时，激发的感生电场不会随时间变化。7-10电荷作下列两种运动时，能否辐射电磁波？(1)电荷在空间作简谐振动；(2)电荷作圆周运动。答：变化着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。电磁场的传播，也就是电磁波的产生总是和电荷的加速运动相联系的。电荷在空间作简谐振动，它的加速度和时间就按正弦关系变化。离它较远各点的电场和磁场也将随时间按正弦变化，这种变化的电磁场还不断向外传播。这就形成了最简单形式的电磁波——简谐电磁波。电子作圆周运动时，在圆周平面远处进行观察，电子可以看作是简谐振动，因此电荷作圆周运动时，也能辐射电磁波。练习题7-1如图7-1所示，在通有电流I的无限长直导线近旁有一导线ab，长为l，离长直导线的距离为d。当它沿平行于长直导线的方向以速度v平移时，导线中的感应电动势有多大？a、b哪端的电势高？第七章电磁感应5解：建立如图7-1所示坐标系，在导线ab中取导体元ddlx，该处的磁感强度02IBx杆中的感生电动势为00()dd2ln2vBlababdldIvxxIvdld－empmp+=醋=-+=òò式中负号表示电动势方向由b指向a，故a端电势较高。7-2在图7-2中，无限长直导线通有电流A)(100sin5tI，另一个矩形线圈共1310匝，宽a=10cm，长l=20cm，以2m/sv的速度向右运动。当d=10cm时求：（1）线圈中的动生电动势；（2）线圈中的感生电动势；（3）线圈中的感应电动势；解：（1）导体在磁场中运动时产生的感应电动势就是动生电动势。本题中，如图，导体eh段和fg段上的动生电动势为零，因而线圈中的动生电动势为100322()210sin100(V)efghefghBlvBlvNINIlvlvddat－eeemmppp=-=-=-+=?（2）由磁通量变化引起的电动势称为感生电动势。在d=10cm时，线圈中的感生电动势为2ddteF=-其中00dln22dadNINIldalxxdmmpp++F==ò磁通量的变化归于电流的变化，依题意，得d500cos100dIttpp=联立上述三式，并带入数据，得224.3610cos100(V)tep-=-?（3）线圈中的感应电动势为动生电动势和感生电动势的代数和12eee=+7-3只有一根辐条的轮子在均匀外磁场B中转动，轮轴与B平行，如图7-3dllabdxvxI图7-1Ildafgeh图7-2第七章电磁感应6所示。轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子每秒转N圈子。两根导线a和b通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。求:（1）a、b间的感应电动势；（2）若在a、b间接一个电阻，流过辐条的电流方向如何？（3）当轮子反转时，电流方向是否会反向？（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多，结果又将如何？解：(1)辐条的转动使闭合导体回路所围面积的磁通量发生变化，从而产生感应电动势。由法拉第电磁感应定律，a、b间的感应电动势为221(d)dd12ddd2abBRBSBRtttqewF=-=-==由题意得2Nwp=代入上式得2abNBRep=(2)若a、b间接一个电阻，则辐条、导线和轮边逆时针构成一个闭合回路。感生电流阻碍磁通量的减少，流过辐条的电流方向由轮轴指向轮边。(3)若轮子反转时，dS变为负，电流方向会反向。(4)若轮子的辐条是对称的两根或更多，每根辐条产生的感应电动势大小相等，若每根辐条作为一个电源，则是两个或更多个电势相等的电源的并联，因此a、b间的感应电动势不变。（另一种解法：可认为辐条在切割磁力线，参照下题解法。）7-4法拉第盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。设圆盘的半径为R，它的轴线与均匀外磁场B平行，它以角速度绕轴转动，如图7-4所示。求：（1）盘边与盘心的电位差；（2）当R=15cm时，B=0.60T。若转速n=30rad/s，电压u等于多少？（3）盘边与盘心哪处电位高？当盘反转时，它们的电位高低是否会反过来？解：（1）盘上沿半径方向产生的感应电动势可以认为是沿任意半径的一导体杆在磁场中运动的结果。在半径上场为dl的一段杆上产生的感应电动势为d()dddBvlBllvBlew=醋==式中l为dl段与盘心的距离，v为dl段的线速度。整个杆上产生的电动势为201dd2RBllBReeww===蝌（2）将数据代入上式，知导体圆盘的电压为210.630(0.15)0.2(V)2ue==创?（3）由右手定则，电动势由盘心指向盘边，故盘边的电位高。当盘反转时，它们的电位高低会反过来。7-5在半径为r的圆柱体内充满均匀磁场B，如图7-5所示。有一个长为lBab图7-3B图7-4第七章电磁感应7的金属杆放在磁场中，若B随时间的变化率为dB/dt，求杆上的电动势？解：如图7-5所示，连接OP、OQ，设想PQOP构成一个闭合导体回路，由于OP、OQ沿半径方向，与通过该处的感生电场强度Ek处处垂直，故Ek·dl=0，OP、OQ两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势。则杆上的电动势为22dd||()dd22PQBllRtteeDF==-=-7-6环形螺线管的截面为矩形，内径为D2，外径为D1，高为h，总匝数为N，介质导磁率为，如图7-6所示。求其自感系数。解一：假设螺线管中通有电流I，则通过长方形截面的磁通量为21202/2/0ln2d2d12DDIhNrNhrNIDDsSB由自感定义，得2120ln2DDhNIL解二：由安培环路定理，有02NIBrmp=又d2dVrhrp=所以管内磁场能量为12222/22010/2021d()2dln2224DVDNIhDBNIWVrhrrDmmpmpp===蝌蝌与能量公式212WLI=比较，可得2012ln2NhDLDmp=BBOPQrl图7-5图7-6第七章电磁感应87-7一个长为l，截面半径为R（Rl）的圆柱形纸筒上均匀密