大学物理课后习题答案第三章

第三章狭义相对论3．1地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？[解答]地球的半径约为R=6400千米=6.4×106(m)，自转一圈的时间是T=24×60×60(s)=8.64×104(s)，赤道上钟的线速度为v=2πR/T=4.652×102(m·s-1)．将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为，可求得B钟的本征时为，因此时间差为=1.898×105(s)．在南极上看，赤道上的钟变慢了．方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为，可求得A钟的本征时为，因此时间差为=1.898×105(s)．在赤道上看，南极上的钟变慢了．[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．有人直接应用公式计算时间差，由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是2`1(/)ttvc221`1(/)[1()]2vttvctc21`()2vtttc2`1(/)ttvc221`1(/)[1()]`2vttvctc21`()`2vtttc2```1(/)ttttvc2211[1()]``()`22vvtttcc未知的．也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．3．2一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为．若将这个光钟横放在一个以速度行驶的火车上，使两镜面都与垂直，两镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为．3．3在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt=4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt`=5s是运动时，根据时间膨胀公式，即，可以求两系统的相对速度为v=3c/5．在S`系中A和B两事件的空间距离为Δl=vΔt`=3c=9×108(m)．3．4一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx=lcosθ和ly=lsinθ．在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y=ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得，因此，可得夹角为．3．5S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式2`1(/)ttttvc2211[1()]()22vvtttcc002Lcvvv021(/)vc2`1(/)ttvc2451(/)vc`21(/)xxllvc``2tantan`1(/)yxllvc21/2`arctan{[1(/)]tan}vc，．（1）由题意得：Δt=0，Δx=1m，Δx`=2m．因此，．（2）由（2）之上式得它们的相对速度为．（3）将（2）之下式除以（2）之上式得，所以=-0.577×10-8(s)．[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx`=2m可以大于间隔Δx=1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式，计算它们的相对速度．3．6一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？[解答]以地球为S系，则Δt=10s，Δx=100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式和，飞船上观察运动员的运动距离为≈-4×109(m)．运动员运动的时间为≈16.67(s)．在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．3．7已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1=20m，x2=40m，t1=4s，t2=8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为≈6.67(s)．空间间隔为2`1(/)xvtxvc22/`1(/)txvctvc2`1(/)xxvc22/`1(/)xvctvc21(/`)vcxx2``tvxc2``1()`xxtcx221(`)()xxc2`1(/)xxvc2`1(/)xvtxvc22/`1(/)tvxctvc2`1(/)xvtxvc21000.81010.8c22/`1(/)tvxctvc100.8100/0.6c2``2121212()/1(/)ttvxxcttvc840.8(4020)/0.6c≈-1.6×109(m)．3．8S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？[解答]在S系中的观测的杆长Δl=10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应，可得杆的本征长度为=50.25(m)．另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20=-0.8c．在S``系观察S`系的速度为=0.99796c．在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度=3.363(m)．[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．3．9一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？[解答]两者相撞的时间间隔Δt=5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v=0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为=4(s)．3．10在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v=u运动，看星光的速度为ux=0，uy=c．星光在S`系中的速度分量为星光在S`系中的速度为，即光速是不变的．星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为．方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v=u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy`=-u，所以星光速度沿y`轴的分量为，``2121212()1(/)xxvttxxvc40200.8(84)0.6c210`1(/)llvc210`1(/)llvc21010.98102012210201/vvvvvc0.98(0.8)10.98(0.8)cc212```1(/)llvc2`1(/)ttvc2`1(/)ttvc`21/xxxuvuuuvc22`21/1/yyxuvcuuvc22221/cuccu``2`2xyuuuc`22`arctanarctanyuuucu`2`222/yxucucuv=uOx地球星光ycSS`x`y`uy`-uθ`太阳从而可求出星光速度垂直地面的夹角为．[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．3．11一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？[解答]（1）粒子的非相对论动能为Ek=m0v2/2，相对论动能为E`k=mc2–m0c2，其中m为运动质量．根据题意得，设x=(v/c)2，方程可简化为，或，平方得1=(1–x2)(1-x)，化简得x(x2–x-1)=0．由于x不等于0，所以：x2–x-1=0．解得，取正根得速率为=0.786c．（2）粒子的非相对论动量为：p=m0v，相对论动量为：，根据题意得方程：．很容易解得速率为：=0.866c．3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．[解答]在相对论能量关系E=E0+Ek中，静止能量E0已知，且E0=m0c2，总能量为，所以，由此得粒子的运动时为．还可得，解得速率为``22`arctanarctanxyuuucu021(/)mmvc22200021(/)mcmcmvvc111xx1(1)1xx152x152vc02`1(/)mvpmvvc00221(/)mvmvvc32vc2200221(/)1(/)mcEEmcvcvc02011(/)kEEEvc020``1(/)kEEtttEvc2001(/)kEvcEE．粒子能够通过的距离为=24167.4(m)．3．13试证相对论能量和速度满足如此关系式：．[证明]根据上题的过程已得，将E=E0+Ek代入公式立可得证．3．14静止质子和中子的质量分别为mp=1.67285×10-27kg，mn=1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0=3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．[解答]在结合过程中，质量亏损为Δm=mp+mn-m0=3.94988×10-30(kg)，取c=3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为ΔE=Δmc2=3.554893×10-13(J)．如果取c=2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为ΔE=3.549977×10-13(J)．2001()kEvcEE200`()1kEElvtctE86