回转运动20151128

〇、刚体运动的描述0、刚体：既考虑物体的质量,又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间相对距离保持不变的质点系。1、刚体运动的基本形式（1）平动：刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。因此可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。（2）转动：刚体上所有质点都绕同一直线（即转轴）作圆周运动。（3）平面运动：刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平面的定轴转动。（4）刚体的一般运动：刚体的一般运动可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。2、转动与平动的类比平动转动位置位置角位置位置的变化位移s角位移位置变化的快慢速度tsvdd角速度tdd速度变化的快慢加速度tvadd角加速度tdd惯性量质量m转动惯量2iirmI改为运动的因素力F力矩FrM运动的量动量vmp角动量（动量矩）IL能量平动动能221mvEk转动动能221IEk功sFAddddMA守恒定律无外力做功时，动量守恒无外力矩做功时，角动量守恒动量定理的微分形式tpFddtLMdd角速度的方向用右手螺旋定则判定。角加速度的方向与角速度方向平行。作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，但不同位置的质点具有不同的线量。刚体上的质元的角量和线量的关系为：（1）线速度与角速度的关系rv（2）切向加速度rat（3）法向加速度2ran3、刚体的转动惯量（1）转动惯量的计算定义转动惯量2iirmI刚体为质量连续体时mrId2转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。几种基本的转动惯量：（1）质量为m、半径为R的均质圆环（宽度不计），绕通过其质心的轴转动的转动惯量为2mRI；（2）质量为m、半径为R的均质圆盘，绕通过其质心的轴转动的转动惯量为221mRI；（3）质量为m、长度为L的均质长杆，绕其一端转动的转动惯量为231mLI；（4）质量为m、长度为L的均质长杆，绕其一端转动的转动惯量为2121mLI。设一个质量为m、半径为R的均质圆盘形车轮在地面上以速度v滚动且不打滑，则其转动的角速度为rv，平动动能为221mv，转动动能为222241212121mvrvmrI，总动能为243mv。（2）平行轴定理刚体绕通过其质心的轴转动时的转动惯量最小。刚体对任一转轴的转动惯量I等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Ic加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方，即2dmIIc一、回转仪与进动刚体绕定点的运动一般是非常复杂的，这里只讨论一种简单的特殊情况，即陀螺仪（gyroscope）。陀螺仪的特点是：具有轴对称性和绕此对称轴有较大的的转动惯量。当外力矩M=0时，角动量及角速度矢量保持恒定——定向回转仪。当回转仪受到外力矩作用时，例如陀螺倾斜——回转效应（进动）。1、陀螺的运动设陀螺质量为m，以角速度ω自转。重力对固定点o的力矩为gmrMsinmgrM绕自身轴转动的角动量为cIL结合角动量定理的微分形式tMLdd，可见LMLLd这种角动量时刻改变方向而大小不变的的运动称为进动（precession）。陀螺仪在外力矩作用下产生进动的效应，叫做回转效应（gyroscopiceffect）。定量分析：dsindsindcILLtmgrtMLdsindd进动角速度cImgrtdd以上只是在ωΩ下的近似结果。说明：（1）1.Ω与ω有关，与θ无关；（2）进动轴通过定点且与外力平行；（3）进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向；（4）ω较小时，θ有周期性变化，称为章动。二、刚体绕定点转动的详细分析（一）欧拉角刚体定点运动自由度s=3，刚体力学的奠基者欧拉巧妙地找到了能简单、明确、单值而且独立变化的三个角度，即著名的欧拉角作为描述刚体定点运动的变量。以固定的原点建立静止坐标系O-ξηζ，再以固定点为原点建立与刚体固连的动坐标系O-xyz，确定刚体位置就等价于确定动坐标的位置。用两个角度确定z轴的位置：一个是z轴对ζ轴的倾角θ；另一个用来确定z轴的方位，它是xOy平面与ξOη平面的交线ON与ξ轴的夹角φ，交线ON称为节线。z轴位置确定以后，再用x轴与节线ON的夹角ψ确定动坐标系绕z轴的转动。θ、φ和ψ三个角度确定后，动坐标的位置也就确定了。x轴与ON之间的夹角ψ称为自转角，取值范围为0≤ψ≤2π；ξ轴与ON之间的夹角φ称为进动角，取值范围为0≤φ≤2π；ζ轴与z轴直角的夹角θ称为章动角，取值范围为0≤θ≤π；这样选取的三个角θ、φ和ψ统称为欧拉角。三个欧拉角可以独立变化，即当任何一个角自由改变时，其他两个角可以保持不变：（1）仅ψ发生改变而保持φ和θ不变，刚体的这种运动称为自转，相应的角速度为自转角速度zatdd，za为沿z轴的单位矢量；（2）仅φ发生改变而保持ψ和θ不变，相当于z轴与ζ轴的夹角不变，z轴在静止空间中沿一圆锥面运动，同时ψ角不变，刚体的这种运动称为进动，相应的角速度为进动角速度atdd，a为沿ζ轴的单位矢量；（3）仅θ发生改变而保持ψ和φ不变，刚体的这种运动称为章动，相应的角速度为章动角速度Natdd，Na为沿节线的单位矢量。若三个角同时变化，则三种运动同时存在，刚体的角速度为三个分角速度的合成，即Nzatatatdddddd（二）欧拉运动学方程为计算方便，需要将在适当的坐标系中正交分解。作辅助线Oy'，它是zOζ平面与xOy平面的交线，Oy'方向上的单位矢量为ya。由于Oζ⊥ζOη，故Oζ⊥ON；又Oz⊥xOy，故Oz⊥Oy'且Oz⊥ON；由ON同时垂直于Oζ和Oz，可得ON⊥Oy'，故NOy'相当于xOy转过角度ψ。将进动角速度沿z轴和y'轴方向分解，得yzatatatsinddcosdddd再继续沿x轴和y轴方向分解，得yxzatatatatcossinddsinsinddcosdddd章动角速度在动左边上的分解为yxNatatatsinddcosdddd所以刚体角速度在动坐标系中的分量为ttttttzyxddcosddsinddcossinddcosddsinsindd这组方程称为欧拉运动学方程，只要在头脑中形成前文中的坐标图，就能方便地列出方程。（三）惯量张量与惯性椭球设刚体以角速度ω绕O点做定点运动。刚体由无数个质点组成，其中第i个质点的质量为im，位置矢量为ir，速度为iv，则刚体对O点的角动量为iiiiiiiiiirrrmrrmvmrL2取任意坐标系O-xyz，和ir的正交分量都可以表示为zzyyxxaaaziyixiiazayaxr将其代入角动量表达式，整理后得222222iiiziiiyiiixziiiziiiyiiixyiiiziiiyiiixxyxmyzmxzmazymxzmxymazxmyxmzymaL引入符号iiixzzxiiizyyziiiyxxyiiizziiiyyiiixxxzmIIzymIIyxmIIyxmIxzmIzymI222222Ixx、Iyy、Izz分别称为刚体对x轴、y轴、z轴的转动惯量，Ixy、Iyz、Izx称为惯量积，统称为惯量系数，于是有zzzzyyzxxzyzzyyyyxxyxzzxyyxxxxIIIaIIIaIIIaL惯量系数决定于刚体质量在坐标系中的分布，由于刚体质量连续分布，故惯量系数定义中的求和实际为积分，即zyxzxmzxIzyxyzmyzIzyxxymxyIzyxyxmyxIzyxxzmxzIzyxzymzyIzxyzxyzzyyxxdddddddddddddddddddddddd222222222222倘若坐标系是静止的，由于刚体的运动，刚体的质量对坐标系的分布会随时间改变，惯量系数是时间的函数，这将给求解带来难以克服的困难。为此做如下简化：为使惯量系数为常数，采用与刚体固连的动坐标。角动量的表达式可以写成矩阵形式zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxIIIIIIIIILLL这个由六个惯量系数组成的对称矩阵是一个对称的二阶张量I，称为惯量张量，因此刚体定点运动对定点的角动量表达式可写为IL在刚体的任一转轴上，选取一点P，使得矢径OPr的大小为IkrI为刚体绕该转轴的转动惯量，k为任意给定常数。当变转动时，P点坐标(x,y,z)满足方程2222222kxzIyzIxyIzIyIxIxzyzxyzzyyxx这个方程决定了一个椭球面，称为惯性椭球。在选定k的情况下，惯性椭球是和刚体固联的，它上面每一点的矢径长度恰好和刚体绕该矢径轴转动的回转半径成反比。惯量张量的分量由刚体质量相对坐标系的分布决定，可以证明：通过适当选择坐标系可以使惯量张量对角化，即使所有的惯量积为零，使张量的分量从六个减少到三个，这样的坐标系称为该点的主轴坐标系。对于主轴坐标系，惯量张量为zyxIIII000000式中Ix、Iy、Iz分别代表刚体对主轴坐标系的x、y、z轴的转动惯量，称为主转动惯量。角动量表达式简化为zzzyyyxxxaIaIaIL寻找主轴坐标系在数学上属于求本征值和本征矢量的问题。主轴坐标系的每一个轴称为该固定点的主轴，针对所讨论的转动惯量问题，称为惯量主轴。从zzzyyyxxxaIaIaIL中可见，若角速度沿某一惯量主轴方向，则角动量的方向也沿此方向，即Lλ为正的比例系数。该式可以作为主轴的定义：若刚体绕过定点的某轴以角速度转动，而刚体对该点的角动量方向与角速度方向相同，则此轴就是该点的惯量主轴（简称主轴）。对于均匀对称的刚体，包含坐标x的所有惯量积都为零是x轴为O点的惯量主轴的充要条件（证明略）。根据该条件，可以得出以下结论（证明略）：（1）匀质刚体的对称轴上是轴上各点的惯量主轴；（2）与匀质刚体的对称面垂直的轴是该轴与该对称面交点的惯量主轴；（3）若坐标系的两个轴是惯量主轴。则第三个轴也是惯量主轴，此坐标系是主轴坐标系；（4）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴为一轴的坐标系是主轴坐标系。（四）欧拉动力学方程刚体定点运动自由度s=3，对定点O运用的角动量定理足以确定其运动状态，为使角动量的表达式简化并便于计算，采用与刚体固连的主轴坐标系O-xyz，于是刚体对定点的角动量为zzzyyyxxxaIaIaILIx、Iy、Iz分别为刚体绕x轴、y轴、z轴的转动惯量。由于采用动坐标，角动量的绝对变化率等于相对变化率与牵连变化率之和，所以角动量定理为MLtLtLdddd根据定义zzzyyyxxxatIatIatItLddddddddzyxyxyxzxzxzyzyaIIaIIaIIL所以角动量定理的投影方程为